Studio di funzione con modulo, esercizio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Studio di funzione con modulo, esercizio #16572

avt
SweetLove
Cerchio
Ciao, la nostra prof ha assegnato per esercizio lo studio di una funzione con modulo. Sarebbe questa

f(x)=\frac{x^2}{x^2-|x-2|}

I risultati che mi offre il libro sono i seguenti: asintoti x=1;\ x=-2;\ y=1; massimi in (0;0),\ \left(4;\frac{8}{7}\right); punto angoloso in (2;1).

Mi potete aiutare a studiarla? Non me la cavo molto bene quando c'è il modulo di mezzo.

Vi ringrazio anticipatamente!
Ringraziano: Cris9583, elda1
 
 

Studio di funzione con modulo, esercizio #16606

avt
Omega
Amministratore
Eccoci!

In generale per studiare le funzioni che presentano nella propria espressione analitica un valore assoluto si può procedere seguendo due strade. Il metodo che ti propongo qui è il più semplice, e consiste nel riscrivere la funzione come due funzioni distinte, definite su diversi intervalli a seconda del segno dell'argomento del modulo.

Prima di tutto: qui trovi alcune cosette interessanti sul valore assoluto.

Premessa numero due: qui trovi una guida sullo studio di funzioni che potrebbe tornarti utile: studio di funzione

Premessa numero tre: qui trovi un bel po' di esercizi sullo studio di funzioni (svolti e non, e non sono nemmeno tutti, puoi cercarne altri con la barra di ricerca).

Premessa finale: qui parlavo, un po' di tempo fa, di come conviene comportarsi quando si deve studiare una funzione con un valore assoluto

Siamo pronti per cominciare!

La funzione che dobbiamo studiare è la seguente

f(x)=\frac{x^2}{x^2-|x-2|}

Osserviamo che il modulo |x-2| si può riscrivere nella seguente forma

|x-2|=\left\{\begin{matrix}(x-2)&\mbox{ se }x\geq 2\\ -(x-2)&\mbox{ se }x<2 \end{matrix}

quindi possiamo esprimere la funzione f sotto forma di funzione estesa, definita cioè da diverse funzioni a seconda dell'intervallo considerato

(\bullet\bullet)\ f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2}{x^2-x+2}\mbox{ se }x\geq 2\\ \\ \displaystyle\frac{x^2}{x^2+x-2}\mbox{ se }x<2\end{cases}

Domanda: conviene studiare le due funzioni come funzioni distinte?

Risposta: no, perché alcune (molte!) proprietà della funzione f(x) possono essere dedotte dall'espressione più compatta

(\bullet)\ f(x)=\frac{x^2}{x^2-|x-2|}

quindi considereremo, all'occorrenza, la formulazione (\bullet) o la formulazione (\bullet\bullet), a seconda di quale delle due risulti più comoda. A seconda dei casi, specificherò quale sia la formulazione più conveniente da usare

DOMINIO (\bullet\bullet)

In entrambi i rami che definiscono f(x) l'unica condizione da imporre riguarda il fatto che il denominatore non può essere mai nullo, per cui

\\ x^2-x+2\neq 0\to \Delta<0\to \forall x\in\mathbb{R} \\ \\ x^2+x-2\neq 0\to (x+2)(x-1)\neq 0\to x\neq -2,x\neq +1

Nota che entrambi i punti esclusi rientrano nell'intervallo di definizione del corrispondente ramo (x<2), quindi il dominio della funzione è dato da

Dom(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(1,\infty)

SEGNO DELLA FUNZIONE, INTERSEZIONI CON GLI ASSI (\bullet)

Dobbiamo risolvere la disequazione f(x)\geq 0, vale a dire

\frac{x^2}{x^2-|x-2|}> 0

che equivale a studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore e a confrontarli poi in un diagramma comune

Num) x^2>0\to \forall x\in\mathbb{R}-\{0\}

In particolare il numeratore si annulla in x=0, cui corrisponde l'unico punto di intersezione con l'asse delle ascisse. Essendo il punto di intersezione (0,0) ed essendo unica (se esiste) l'intersezione con l'asse delle ordinate, (0,0) è l'unico punto di intersezione con entrambi gli assi.

Den) x^2-|x-2|>0\to x<-2\vee x>1

Questa disequazione con valore assoluto si può risolvere procedendo secondo l'usuale metodo di risoluzione algebrico, oppure volendo in un modo più furbo (metodo grafico). Se dovessi avere problemi con la sua risoluzione, non esitare a farmelo sapere, così ne parliamo.

Dal confronto tra il segno di numeratore e denominatore deduciamo che la funzione è positiva sull'insieme x<-2\vee x>1 e negativa su (-2,0)\cup(0,1).

LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO (\bullet) e (\bullet\bullet)

Dobbiamo calcolare i limiti di f(x) per x\to \pm \infty,x\to 1^{\pm},x\to (-2)^{\pm}. Per quanto riguarda i limiti agli estremi illimitati del dominio usiamo \bullet

\lim_{x\to \pm\infty}{\frac{x^2}{x^2-|x-2|}}=1

e andiamo a colpo sicuro sul risultato applicando semplicemente un confronto tra infiniti.

Per i limiti agli estremi limitati, invece, osserviamo che x=-2<2,x=1<2 quindi possiamo considerare direttamente il ramo della funzione per x<2

f(x)=\frac{x^2}{(x+2)(x-1)}

con il quale otteniamo

\\ \lim_{x\to  1^{-}}{\frac{x^2}{(x+2)(x-1)}}\, ''=''\frac{1}{3\cdot 0^{-}}=-\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to  1^{+}}{\frac{x^2}{(x+2)(x-1)}}\,''=''\frac{1}{3\cdot 0^{+}}=+\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to  (-2)^{-}}{\frac{x^2}{(x+2)(x-1)}}\,''=''\frac{1}{0^{-}\cdot (-3)}=+\infty\\ \\ \\ \lim_{x\to (-2)^{+}}{\frac{x^2}{(x+2)(x-1)}}\,''=''\frac{1}{0^{+}\cdot (-3)}=-\infty

dove le uguaglianze indicate con ''='' hanno senso solamente nel contesto dell'algebra diinfiniti e infinitesimi.

DERIVATA PRIMA E MASSIMI E MINIMI LOCALI E GLOBALI

Calcoliamo le derivate della funzione separatamente, considerando i due rami che definiscono f(x). Le derivate non sono complicate, si tratta in entrambi i casi di applicare al regola di derivazione del rapporto di funzioni, e di fare attenzione ai conti

f'(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{-x^2+4x}{(x^2-x+2)^2}&\mbox{ se }x>2\\ \\  \displaystyle \frac{x^2-4x}{(x^2+x-2)^2}&\mbox{ se }x<2\end{cases}

Lo studio del segno di f' si può condurre ora normalmente, risolvendo le due disequazioni fratte

\\ \frac{-x^2+4x}{(x^2-x+2)^2}> 0\\ \\ \\ \frac{x^2-4x}{(x^2+x-2)^2}> 0

o meglio

\\ \begin{cases}\displaystyle\frac{-x^2+4x}{(x^2-x+2)^2}> 0\\ \\ x\geq 2\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-4x}{(x^2-x+2)^2}> 0\\ \\ x< 2\end{cases}

o ancora, più furbescamente

\\ \begin{cases}-x^2+4x> 0\\ x\geq 2\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}x^2-4x> 0\\ x< 2\end{cases}

tanto i denominatori sono positivi sul dominio della funzione, e possiamo eliminarli.

Le rispettive soluzioni sono

2<x<4 (Derivata prima positiva -> funzione crescente)

x<0 (Derivata prima positiva -> funzione crescente)

Sulle restanti parti del dominio la funzione f(x) è decrescente, sicché ne deduciamo che f presenta un massimo (relativo) in x=0 e un massimo relativo in x=4.

Domandona: la funzione f è derivabile su tutto il suo dominio? È lecito porsi tale domanda ogni volta che abbiamo a che fare con una funzione contenente un valore assoluto: la derivata prima è definita a tratti e i due rami si raccordano nel punto x=2, altrove f è certamente derivabile.

Dobbiamo studiare la derivabilità in x=2, per cui ci calcoliamo i due limiti, sinistro e destro, del rapporto incrementale di f in tale punto. Chiamiamo x_0=2:

\lim_{x\to x_0^{\pm}}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

Per calcolare i due limiti, dobbiamo usare le due espressioni di \bullet\bullet a seconda che il limite venga calcolato da sinistra o da destra

\\ \lim_{x\to 2^{-}}{\frac{\frac{x^2}{x^2+x-2}-1}{x-2}}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 2^{-}}{\frac{x^2-x^2-x+2}{(x^2+x-2)(x-2)}}=\\ \\ \\ = \lim_{x\to 2^{-}}\frac{-x+2}{(x-2)(x^2+x-2)}=-\frac{1}{4}

In modo analogo si vede che

\lim_{x\to 2^{+}}{\frac{\frac{x^2}{x^2-x+2}-1}{x-2}}=\frac{1}{4}

quindi la funzione presenta in x=2 un punto angoloso e non è ivi derivabile.

CALCOLO E STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA

La derivata seconda si ottiene derivando ciascun ramo della derivata prima ma non porta ulteriori informazioni a quelle già ottenute. L'espressione che definisce f''(x) risulta essere elaborata per essere studiata con le tecniche standard, ma fortunatamente disponiamo già di sufficienti informazioni per tracciare il grafico della funzione. Eccolo!

Sweetlovegraficofunzionerazionaleconmodulo


Se dovessi avere dubbi non esitare a chiedere.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, SweetLove, CarFaby, Simo!, FrancyMorghy, Tuft, [M]arcoz, kelia...

Studio di funzione con modulo, esercizio #16662

avt
SweetLove
Cerchio
Ti ringrazio di cuore!
Ringraziano: Omega, I.am.mine, dargras, kaue
  • Pagina:
  • 1
Os