Calcolo dell'integrale di sqrt(1+4x^2)

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Calcolo dell'integrale di sqrt(1+4x^2) #15575

avt
mimmo
Punto
Buongiorno potete aiutarmi nel calcolo di un integrale irrazionale con una radice quadrata? Sarebbe l'integrale di sqrt(1+4x^2), grazie!

\int{\sqrt{1+4x^2}\ dx}
 
 

Calcolo dell'integrale di sqrt(1+4x^2) #15577

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mimmo emt

Per questa volta emt ho sostituito l'allegato con il testo dell'integrale: dalla prossima non inserire allegati, ma scrivi direttamente il testo. Se non vuoi usare il LaTeX, puoi scriverlo con i caratteri standard da tastiera, ad esempio nel nostro caso

int ( sqrt( 1+4x^2 ) dx)

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Anyway, lo svolgimento completo dell'integrale che proponi è descritto nel dettaglio qui

/forum/analisi-1/10484-tanti-integrali-fratti-con-radici-e-integrali-con-radici.html

MA mi dicono dalla regia emt che al liceo l'integrale

\int{\sqrt{1+x^2}dx}

lo si può anche considerare come integrale fondamentale, la cui primitiva è data da

\int{\sqrt{1+x^2}dx}=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\log{(x+\sqrt{1+x^2})}+c

Per ricondurre il nostro integrale

\int{\sqrt{1+4x^2}dx}

a quest'ultimo

\int{\sqrt{1+x^2}dx}

è sufficiente integrare per sostituzione e porre z=2x, che ha inversa x=\frac{1}{2}z e dunque differenziale della trasformazione inversa dato da

dx=\frac{1}{2}dz

(ottenuto per derivazione). Effettuando la sostituzione in

\int{\sqrt{1+4x^2}dx}

otteniamo

\frac{1}{2}\int{\sqrt{1+z^2}dz}

che ha primitive del tipo visto poco fa emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
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Os