Confronto tra infiniti e infinitesimi #13141

avt
Matilde91
Cerchio
Buongiorno a tutti, credo di non aver capito nulla sul confronto tra infiniti e ordine di infinito e confronto tra infinitesimi e ordine di infinitesimo.

Posso chiedervi un'ulteriore spiegazione con tanti esempi? All'uni non ci ho capito niente!
Grazie
 
 

Confronto tra infiniti e infinitesimi #13241

avt
Omega
Amministratore
Ciao Matilde emt

Il riferimento è a questi due articoli qui:

- confronto tra infiniti

- confronto tra infinitesimi.

Un infinitesimo è una qualsiasi funzione f(x) al tendere di x\to c dove -\infty\leq c\leq +\infty è tale che

\lim_{x\to c}{f(x)}=0

mentre un infinito è una qualsiasi funzione f(x) al tendere di x\to c dove -\infty\leq c\leq +\infty è tale che

\lim_{x\to c}{f(x)}=+\infty

oppure

\lim_{x\to c}{f(x)}=-\infty

Ragioniamo nel caso degli infiniti: se sono assegnate due funzioni f(x),g(x) tali da avere limite infinito al tendere di x\to c, ad esempio

\lim_{x\to c}{f(x)}=+\infty=\lim_{x\to c}{g(x)}

quantitativamente le due funzioni divergono entrambe ad infinito, ma possono farlo con una velocità diversa. Da qui nasce la necessità di introdurre la nozione di ordine di infinito.

Gli ordini di infinito si stabiliscono e si confrontano come descritto nell'articolo. In ogni caso l'idea che sta alla base del confronto tra infiniti (e che suona strana o poco familiare per chi si appresta allo studio dei limiti emt ) è che due o più funzioni possono divergere in modi diversi (nell'intorno di un punto, o di \infty, tale per cui entrambe le funzioni divergano, beninteso...).

Ad esempio, se consideriamo le funzioni f(x)=e^{x} e g(x)=x al tendere di x\to +\infty, avremo che

\lim_{x\to c}{e^x}=+\infty

e

\lim_{x\to c}{x}=+\infty

ma le due funzioni non divergono allo stesso modo: la funzione f(x)=e^x è più veloce nel farlo, e l'espressione formale e rigorosa di tale fatto è esattamente

\lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{x}}{x}}=+\infty

o, equivalentemente

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{e^{x}}}=0

In questo contesto si dice che f(x)=e^{x} è un infinito di ordine superiore rispetto alla funzione g(x)=x al tendere di x\to +\infty.

Per gli infinitesimi vale un discorso più o meno analogo...Prova a rivedere gli articoli in quest'ottica. Per quanto riguarda gli esempi, ce ne sono a bizzeffe qui su YM emt prova a cercare confronto tra infiniti e confronto tra infinitesimi emt
Ringraziano: Pi Greco, vezzo, Pandino
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Os