Derivata seconda di una funzione fratta

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Derivata seconda di una funzione fratta #12932

avt
roxi
Punto
Ciao a tutti =) vorrei qualche indicazione per calcolare la derivata seconda della seguente funzione fratta, in quanto non riesco a capire i passaggi che riguardano il denominatore. In realtà ho già calcolato la derivata prima ed è questa

y'=\frac{x^2-10x}{(x-5)^2}

Grazie mille!
 
 

Derivata seconda di una funzione fratta #12936

avt
frank094
Maestro
Ciao Roxi,

data la funzione f' ( quindi già derivata ), per trovare la derivata seconda è sufficiente derivare nuovamente la funzione; in particolare si ha che

f''(x) = \frac{d}{dx}f'(x)


Nel caso in esame, bisogna risolvere la derivata

f''(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2 - 10x}{(x - 5)^2} \right]


La funzione in esame è data dal rapporto tra due funzioni g ed h, perciò possiamo sfruttare la regola di derivazione di un rapporto tra funzioni per scrivere

f''(x) = \frac{ \frac{dg(x)}{dx} \cdot h(x) - g(x) \cdot \frac{dh(x)}{dx}}{[h(x)]^2}


Nel nostro caso si ha ovviamente che

g(x) = x^2 - 10x \implies \frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = 2x - 10


h(x) = x^2 - 10x + 25 \implies \frac{\mathrm{d}h(x)}{\mathrm{d}x} = 2x - 10

Le derivate delle due funzioni sono uguali pertanto nella formula risolutiva è possibile raccogliere tale termine in modo da avere

f''(x) = \frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} \cdot \frac{h(x) - g(x)}{[h(x)]^2}


Sostituendo le informazioni in nostro possesso, si trova facilmente che

f''(x) = 2(x - 5) \cdot \frac{x^2 - 10x + 25 - x^2 + 10x}{(x - 5)^4}


Svolgendo le opportune semplificazioni si trova che

f''(x) = \frac{50}{(x - 5)^3}


E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, roxi

Derivata seconda di una funzione fratta #12944

avt
roxi
Punto
Grazieee tantee =)) quindi non esiste nessun punto flesso giusto?

Derivata seconda di una funzione fratta #12946

avt
frank094
Maestro
Esatto emt, la derivata seconda non si annulla mai perciò non sono presenti eventuali punti di flesso!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, roxi

Derivata seconda di una funzione fratta #12947

avt
roxi
Punto
Grazie ancoraa =)) spero tanto che il compito mi andrà bene emt alla fin fine le derivate sono facili emt a presto :*

Derivata seconda di una funzione fratta #12948

avt
frank094
Maestro
Di nulla emt, buona fortuna per il compito emt !
Ringraziano: Omega, Ifrit, roxi

Derivata seconda di una funzione fratta #12950

avt
roxi
Punto
Grazieee emt

Re: Derivata seconda di una funzione fratta #15164

avt
roxi
Punto
Eilà ragazzi come và??? il compito mi è andato malissimo (3 e mezzo xD), ma non solo a me x fortuna..il prof a messo delle funzioni che non avevamo fatto MAI in classe, infatti su 25 alunni ci sono state solo 3 suff, e ora si chiede se il problema è suo o nostro -.-" ma x favore và.. ma non importa =) kmq mi potreste dire la formula generale x la derivata seconda di una funzione composta? non riesco ancora a capirla emt

Re: Derivata seconda di una funzione fratta #15206

avt
Omega
Amministratore
Ciao Roxi emt

Peccato!...emt Forza comunque, il tempo per rimediare non manca emt

Per quanto riguarda il teorema di derivazione della funzione composta trovi di tutto e di più nella lezione del link.

Per la derivata seconda di una funzione composta del tipo

y=f(g(x))

la cui derivata prima è

y=f'(g(x))\cdot g'(x)

è sufficiente applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni, e nel derivare il primo fattore applicare nuovamente il teorema di derivazione della funzione composta

y=[f''(g(x))\cdot g'(x)]\cdot g'(x)+f'(g(x))\cdot g''(x)
Ringraziano: Pi Greco, roxi

Re: Derivata seconda di una funzione fratta #15272

avt
roxi
Punto
GRAZIEEE =) =) mentre la formula generale x fare la derivata seconda di una funzione fratta ?? emt
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