Problema di Geometria con i limiti, rapporto delle aree di un triangolo e un trapezio

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Problema di Geometria con i limiti, rapporto delle aree di un triangolo e un trapezio #1287

avt
wewe93
Punto
Potreste aiutarmi con questo problema di Geometria con i limiti? Devo calcolare il limite del rapporto delle aree di un triangolo e un trapezio...

Nel parallelogramma ABCD le misure dei lati AB e BC sono rispettivamente a e b, e l’ angolo in B misura 120°.

Dal generico punto F appartenente al lato BC conduci la parallela al lato AB che incontri in G la diagonale AC e in E il lato AD.

Calcola il limite del rapporto fra l area del triangolo CFG e quella del trapezio CDEG al tendere di F a C.

Il risultato è 0.

Grazie mille emt
 
 

Problema di Geometria con i limiti, rapporto delle aree di un triangolo e un trapezio #1290

avt
frank094
Maestro
Ciao wewe93, andiamo a vedere come risolvere questo problema!
Ti consiglio però di fare una figura così da poter seguire al meglio il mio svolgimento.

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Consideriamo prima di tutto il triangolo GFC: usiamo la formula goniometrica per l'area di un triangolo qualsiasi

A = \frac{1}{2} \cdot \overline{CF} \cdot \overline{FG} \cdot \sin{G\widehat{F}C}

Di queste misure, quali possiamo esprimere numericamente subito? Il seno! Per costruzione infatti, tale angolo è uguale a quello in B del parallelogramma ( 120 ):

A_t = \frac{1}{2} \cdot \overline{CF} \cdot \overline{FG} \cdot \sin{120^{o}}

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Passiamo ora al parallelogramma EGCD, proviamo a calcolarne l'area.
Conosciamo la misura della base minore e di quella maggiore: ci manca solo l'altezza.
Facendo di nuovo ricorso alla trigonometria, fatta la perpendicolare per D che interseca il segmento in K, abbiamo:

h = \overline{DK} = \overline{DE} \cdot \cos{120^{o} - 90^{o} = \overline{DE} \cdot \cos{30^{o}}

L'area del parallelogramma si può di conseguenza esprimere come

A_p = \frac{(\overline{EG} + \overline{DC}) \cdot \overline{DK}}{2}

A_p = \frac{(\overline{EG} + \overline{DC}) \cdot \overline{DE} \cdot \cos{30^{o}}}{2}

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Facciamo adesso il rapporto tra le aree ( passeremo al limite tra pochissimo! ):

\frac{A_t}{A_p} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \overline{CF} \cdot \overline{FG} \cdot \sin{120^{o}}}{\frac{(\overline{EG} + \overline{DC}) \cdot \overline{DE} \cdot \cos{30^{o}}}{2}}

Ma cos(30°) = sin(120°), così come 1/2 = 1/2 ( emt ):

\frac{A_t}{A_p} = \frac{\overline{CF} \cdot \overline{FG} }{(\overline{EG} + \overline{DC}) \cdot \overline{DE}}}

Ma, per costruzione, DE = CF di conseguenza

\frac{A_t}{A_p} = \frac{\overline{FG} }{(\overline{EG} + \overline{DC})}}

Quando il punto F tende al punto C, il segmento FG tende a zero, mentre il segmento EG tende ad CD .. ne risulta che

\lim_{\overline{FG} \to 0} \frac{A_t}{A_p} = \lim_{\overline{FG} \to 0} \frac{\overline{FG} }{(\overline{EG} + \overline{DC})}} = \frac{0}{a + a} = 0


Se hai qualche dubbio riguardo allo svolgimento, chiedi pure emt !
Ringraziano: Omega, CarFaby

Problema di Geometria con i limiti, rapporto delle aree di un triangolo e un trapezio #1292

avt
wewe93
Punto
grazie mille! mi scuso x aver scritto la domanda sia nel forum che nelle domande,ma essendo nuovo su qst sito nn avevo ben capito come funzionava emt comunque grazie ancora.
Ringraziano: frank094
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Os