Calcolo di limite per x tendente a zero di (1/x)-cot(x)

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Calcolo di limite per x tendente a zero di (1/x)-cot(x) #12595

avt
mimmo
Punto
help!

qualcuno mi può dire se è possibile risolvere il limite per x che tende a 0+ di 1/x - ctgx utilizzando i limiti notevoli?
grazie
 
 

Calcolo di limite per x tendente a zero di (1/x)-cot(x) #12612

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao mimmo, purtroppo non è chiaro il limite:

E' per caso

\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}-\cot(x)

Fammi sapere emt
Ringraziano: Omega

Calcolo di limite per x tendente a zero di (1/x)-cot(x) #12636

avt
mimmo
Punto
è proprio questo! spero che tu mi potrai dare una mano.:(
grazie

Calcolo di limite per x tendente a zero di (1/x)-cot(x) #12643

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}-\cot(x)=

Ricordiamo che:

\cot(x)= \frac{1}{\tan(x)}

Sostituiamo e il limite diventa:


\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan(x)}

Minimo comune multiplo:

Otteniamo

\lim_{x\to 0^+}\frac{\tan(x)-x}{x\tan(x)}

Da qui comprendo che non bastano i limiti notevoli per lo svolgimento del limite emt Posso utilizzare Taylor? ._.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Calcolo di limite per x tendente a zero di (1/x)-cot(x) #12674

avt
mimmo
Punto
[Admin]

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[Admin]

Calcolo di limite per x tendente a zero di (1/x)-cot(x) #12717

avt
Omega
Amministratore
Hello evribadi

Taylor qui è certamente la soluzione più elegante: se non si potesse utilizzare Taylor, per poter utilizzare i limiti notevoli bisogna pasticciare parecchio con la funzione:

\lim_{x\to 0}{\frac{\tan{(x)}-x}{x\tan{(x)}}}=

grazie alla definizione di tangente

\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}-x}{x\tan{(x)}}}=

\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}-x\cos{(x)}}{x\tan{(x)}\cos{(x)}}}=

Moltiplichiamo e dividiamo per x il seno presente a numeratore

\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{x}{x}\sin{(x)}-x\cos{(x)}}{x\tan{(x)}\cos{(x)}}}=

e applichiamo il limite notevole del seno

\lim_{x\to 0}{\frac{x-x\cos{(x)}}{x\tan{(x)}\cos{(x)}}}=

\lim_{x\to 0}{\frac{x(1-\cos{(x)}}{x\tan{(x)}\cos{(x)}}}=

\lim_{x\to 0}{\frac{(1-\cos{(x)}}{\tan{(x)}\cos{(x)}}}=

a numeratore applichiamo il limite notevole del coseno, e sostituiamo direttamente 1-\cos{(x)} con \frac{1}{2}x^2

\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}x^2}{\tan{(x)}\cos{(x)}}}=

Al tendere di x\to 0 risulta che \cos{(x)}\to 1, quindi possiamo equivalentemente calcolare

\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}x^2}{\tan{(x)}}}=

e se infine applichiamo il limite notevole della tangente, possiamo sostituire \tan{(x)} con x quando x\to 0

\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{1}{2}x^2}{x}}=

rimane

\lim_{x\to 0}{\frac{1}{2}x}=0

Molto meglio usare Taylor! emt
Ringraziano: Pi Greco, mimmo
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Os