Studio di una funzione con esponenziale

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Studio di una funzione con esponenziale #12266

avt
Matilde91
Cerchio
Hola a todos! emt

ho questa funzione f(x) = x3*e-x

vorrei sapere se dominio,intersezioni e segno che ho calcolato sono giusti e chiedo aiuto per gli asintoti perchè mi sa che non c'ho capito nulla emt

dominio: tutto R

segno: f(x)>0 per 0 {\leq} x{\leq1}

intersezione con asse x
x=0
x=-1

intersezione con asse y

y=0

giusto? emt

ora se non ci sono punti esclusi dal dominio non dovrebbero esserci asintoti verticali?vero?
mi pare di non trovare neanche asintoti orizzontali ma non riesco a calcolare quello obliquo... emt
grazie emt
 
 

Studio di una funzione con esponenziale #12270

avt
frank094
Maestro
Ciao Matilde91 emt ! Controlliamo immediatamente lo studio di funzione emt !

f(x) = x^3 e^{-x}

Dominio: La funzione è data dal prodotto di funzioni continue in tutto l'insieme dei numeri reali, perciò il tuo risultato è esatto

\mathfrak{D_{ominio}} = \mathbb{R}

Segno: Il segno della funzione si trova imponendo la funzione maggiore di zero; in questo caso però il tuo risultato è errato.

f(x) = x^3 e^{-x} > 0

La funzione esponenziale è sempre positiva perciò si deve discutere solo il primo fattore; in particolare si ha che

\mathbf{I_{positiva}} = (0, + \infty)

\mathbf{I_{negativa}} = (- \infty, 0)

Intersezione con gli assi: Per trovare l'intersezione con l'asse delle y è sufficiente valutare la funzione in 0; si ha che

x = 0 \implies f(0) = 0

Si interseca dunque nell'origine con entrambi gli assi; è chiaro che con l'asse delle x oltre questa, non vi sono altre intersezioni in quanto la esponenziale non si annulla mai e x^3 solo se x = 0. L'unico punto è dunque

O = (0, 0)

Limiti: Come giustamente fai notare, non vi sono asintoti verticali perciò andiamo a vedere come si comporta la funzione ad infinito positivo e negativo:

\lim_{x \to + \infty} x^3 e^{-x} = 0

\lim_{x \to - \infty} x^3 e^{-x} = - \infty

Fatto ciò, andiamo alla ricerca di eventuali asintoti obliqui/orizzontali; per farlo iniziamo con il trovare, se esistono, i coefficienti angolari.

m_1 = \lim_{x \to + \infty} x^2 e^{-x} = 0

m_2 = \lim_{x \to - \infty} x^2 e^{-x} = + \infty

Niente asintoti obliqui; l'unico asintoto orizzontale risulta dunque essere y = 0 ed è relativo alla sola parte destra ( > 0 ) della curva.

Tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Matilde91

Studio di una funzione con esponenziale #12272

avt
Matilde91
Cerchio
emt mi basterebbe ricordare che questa benedetta funzione esponenziale è sempre positiva! emt
cmq in realtà non mi è chiaro perchè \lim_{x\to +\infty}{x^3}{e^-^x} = 0
emt questi limiti non vogliono proprio entrarmi in testa!

Studio di una funzione con esponenziale #12277

avt
frank094
Maestro
Per le proprietà delle potenze, possiamo scrivere la funzione come

f(x) = \frac{x^3}{e^x}

Quando x va all'infinito positivo si ha, per il confronto tra infinitesimi, che la funzione tende a zero.
Questo perché l'esponenziale è infinito di ordine superiore; una lezione a tal proprosito puoi trovarla qui.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Matilde91

Studio di una funzione con esponenziale #12284

avt
Matilde91
Cerchio
emt mi sono fermata di nuovo...aiuto!
la derivata di questa funzione è uguale a ({\frac{x^3-3x^2}{e^x}) ????
non credo perchè se fosse cosi avrei che fino a 0 la funzione cresce, da 0 a 3 decresce e da 3 in po cresce...ma non è cosi...quindi è sbagliata la derivata! emt
chiedo una correzione, non odiatemi!
grazie

Studio di una funzione con esponenziale #12293

avt
frank094
Maestro
Non preoccuparti, siamo qui apposta per aiutare emt !

f(x) = \frac{x^3}{e^x}

Sfruttiamo la regola di derivazione di un prodotto, per ottenere

f'(x) = \frac{3x^2 \cdot e^x - x^3 \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{3x^2 - x^3}{e^x}

Quindi avevi sbagliato solamente un segno; in tal caso risolvendo la disequazione associata si trova che l'intervallo di crescenza è

\mathbf{I_{crescenza}} = (- \infty, 3)

e quello di decrescenza

\mathbf{I_{decrescenza}} = (3, + \infty)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Matilde91
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