Studio di una funzione irrazionale con rapporto

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Studio di una funzione irrazionale con rapporto #12256

avt
Alessandro22
Punto
Avrei bisogno di aiuto per studiare questa funzione irrazionale con un rapporto.

Ho determinato dominio, segno ed intersezioni ma non non sono affatto sicuro perché andando ancora avanti trovo delle incongruenze.

La funzione è questa:

f(x)=\frac{\sqrt{x^2 - 9x}}{x}

Potreste darmi qualche suggerimento?
 
 

Studio di una funzione irrazionale con rapporto #12286

avt
Omega
Amministratore
Cominciamo: tutto quello che serve a livello teorico-pratico lo trovi in questa guida sintetica sullo studio di funzione.

1) Dominio

Dobbiamo richiedere che l'argomento della radice sia non negativo (maggiore-uguale a zero) e che il denominatore non si annulli. Entrambe le condizioni vanno messe a sistema, e quindi

\\ x^2-9x\geq 0\to x(x-9)\geq 0\to 0\leq x \vee x\geq 9\\ \\ \\ x\neq 0

Il dominio della funzione è dato da: (-\infty,0)\cup[9,+\infty)

2) [url=/lezioni/analisi-matematica/studio-di-funzioni-grafico/179-step-3-intersezioni-con-gli-assi.html]Intersezioni con gli assi[/url], segno della funzione

Risolviamo la disequazione f'(x)\geq 0, cioè

\frac{\sqrt{x^2-9x}}{x}\geq 0

Il numeratore è sempre positivo sul dominio della funzione (non bisogna fare nemmeno mezzo calcolo!), mentre il denominatore è positivo per x>0.

Se ne deduce che f(x) è positiva per x>9, mentre è negativa per x<0.

L'unica intersezione con l'asse delle x si trova in x=9, non ci sono invece intersezioni con l'asse delle ordinate (non si può valutare f(0) perché x=0 è escluso dal dominio).

3) Limiti agli estremi del dominio

Dobbiamo calcolare

\lim_{x\to -\infty}{\frac{\sqrt{x^2-9x}}{x}}=\lim_{x\to -\infty}{|x|\frac{\sqrt{1-\frac{9}{x}}}{x}}=\lim_{x\to -\infty}{\frac{-x}{x}}}=-1

dove abbiamo raccolto un x^2 dentro la radice e l'abbiamo portato fuori dalla radice.

y=-1 è asintoto orizzontale per la funzione al tendere di x\to -\infty.

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\sqrt{x^2-9x}}{x}}=\lim_{x\to +\infty}{|x|\frac{\sqrt{1-\frac{9}{x}}}{x}}=\lim_{x\to +\infty}{\frac{+x}{x}}}=+1

come sopra, solo che qui l'asintoto orizzontale è y=1.

\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{\sqrt{x^2-9x}}{x}}=\lim_{x\to 0^-}{\frac{\sqrt{-9x}}{x}}=-\infty

risultato che si ottiene effettuando il confronto tra infinitesimi, e osservando che il denominatore è un infinitesimo di ordine superiore.

In particolare, si vede che x=0 è asintoto verticale per la funzione.

4) Derivate, monotonia, massimi e minimi.

Ci serve la derivata prima della funzione. Per calcolarla, usiamo la regola di derivazione del rapporto di funzioni:

f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x^2-9x}}\cdot (2x-9)\cdot x-\sqrt{x^2-9x}\cdot 1}{x^2}

con un paio di conticini algebrici troviamo

f'(x)=\frac{9}{2x\sqrt{x^2-9x}}

La derivata prima è definita sul dominio della funzione f(x), tranne che nel punto x=9.

Per studiarne il segno, risolviamo f'(x)\geq 0 e troviamo senza fare calcoli che f'(x)>0 se x>9, mentre f'(x)<0 se x<9.

Nel primo intervallo la funzione è crescente, nel secondo la funzione è decrescente.

5) Derivata seconda, convessità e punti di flesso.

Derivando la derivata prima otteniamo la derivata seconda

f''(x)=\frac{243-36x}{4x\sqrt{(x^2-9x)^3}}

e risolvendo la disequazione f''(x)\geq 0 possiamo limitarci a confrontare il segno dei seguenti due fattori:

(243-36x)\geq 0\to x\leq \frac{243}{36}

x>0

infatti la radice è positiva sul dominio della funzione f(x). Si trova che la derivata seconda è positiva per

0< x\leq \frac{243}{36}

intervallo che però è escluso dal dominio della funzione, dunque la derivata seconda è sempre negativa sul dominio di f.

6) Grafico della funzione

funzionesqrtx2 9xfracx

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco
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Os