Esercizio sul teorema degli zeri e metodo di bisezione

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Esercizio sul teorema degli zeri e metodo di bisezione #1205

avt
gi.giorgia
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di dimostrare che una data equazione ammette un'unica soluzione in un intervallo dato, dopodiché devo utilizzare 3 passi del metodo di bisezione per determinare un intervallo in cui ricade la soluzione.

Data l'equazione

log_(10)(x^2)+x^2-4 = 0

Dimostrare che ammette un'unica soluzione nell'intervallo [1,2], dopodiché utilizzare 3 passi del metodo di bisezione per ottenere un'approssimazione della soluzione esatta.
 
 

Esercizio sul teorema degli zeri e metodo di bisezione #1206

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione trascendente

log_(10)(x^2)+x^2-4 = 0

Dobbiamo dimostrare preliminarmente che essa ammette esattamente una soluzione nell'intervallo [1,2], applicando il teorema degli zeri.

Poniamo per semplicità di esposizione

f(x): = log_(10)(x^2)+x^2-4

Essa è una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato [1,2] perché composizione di funzioni continue, infatti il logaritmo in base 10 e la funzione polinomiale y = x^2-4, il cui grafico è una parabola, sono notoriamente funzioni continue.

La funzione f(x), inoltre, assume valori di segno opposto agli estremi dell'intervallo dato

f(1) = log_(10)(1)+1-4 = -3 < 0 ; f(2) = log_(10)(4)+4-4 = log_(10)(4) ≃ 0.60 > 0

dove 0.60 rappresenta un'approssimazione del valore esatto log_(10)(4) ottenibile mediante una calcolatrice.

Le ipotesi del teorema degli zeri sono soddisfatte, pertanto esiste (almeno) un punto x_0∈ (1,2) tale che f(x_0) = 0.

Dimostriamo l'unicità di tale punto studiando la monotonia di f(x) nell'intervallo [1,2], ma prima calcoliamo la derivata prima di f(x).

Grazie alle note regole di derivazione

f'(x) = (d)/(dx)[log_(10)(x^2)+x^2-4] = (d)/(dx)[log_(10)(x^2)]+(d)/(dx)[x^2]-(d)/(dx)[4] =

e alla tabella delle derivate fondamentali otteniamo

= (2)/(xln(10))+2x

La derivata di f(x) è certamente positiva nell'intervallo considerato giacché somma di quantità positive per x∈[1,2].

Ciò garantisce la stretta crescenza di f(x) nell'intervallo [1,2],, che a sua volta assicura l'unicità della soluzione nell'intervallo considerato.

Applichiamo tre volte il metodo di bisezione ponendo

a_0 = 1 ; b_0 = 2 ; x_0 = (a_0+b_0)/(2) = (3)/(2)

dove x_0 è il punto medio dell'intervallo [1,2].

Valutiamo la funzione nei tre punti

f(a_0) = f(1) = log_(10)(1)+1-4 = -3 ; f(b_0) = f(2) = log_(10)(4)+4-4 = log_(10)(4) ≃ 0.6 ; f(c_0) = f((3)/(2)) = log_(10)((3)/(2))+(9)/(4)-4 ≃ -1.40

In accordo con il teorema degli zeri, lo zero deve necessariamente trovarsi nell'intervallo ((3)/(2),2).

Costruiamo dunque

a_1 = (3)/(2) ; b_1 = 2 ; c_1 = (b_1+a_1)/(2) = (7)/(4)

dove c_1 è il punto medio dell'intervallo [(3)/(2),2]

Valutiamo la funzione nei tre punti

f(a_1) = f((3)/(2)) = log_(10)((3)/(2))+(9)/(4)-4 ≃ -1.40 ; f(b_1) = f(2) = log_(10)(4)+4-4 = log_(10)(4) ≃ 0.60 ; f(c_1) = f((7)/(4)) = log_(10)((49)/(16))+(49)/(16)-4 ≃ -0.45

ed osserviamo che poiché f(b_1)·f(c_1) < 0 allora applicheremo il teorema degli zeri nell'intervallo [(7)/(4),2].

Poniamo

a_2 = (7)/(4) ; b_2 = 2 ; c_2 = (a_2+b_2)/(2) = (15)/(8)

dove c_2 è il punto medio dell'intervallo [(7)/(4),2]. Determiniamo i valori che la funzione assume in tali punti

f(a_2) = f((7)/(4)) = log_(10)((49)/(16))+(49)/(16)-4 ≃ -0.45 ; f(b_2) = f(2) = log_(10)(4)-4+4 = log_(4)(10) ≃ 0.6 ; f(c_2) = f((15)/(8)) = log_(10)((225)/(64))+(225)/(64)-4 ≃ 0.06

Dopo tre iterazioni del metodo scopriamo che la soluzione esatta appartiene all'intervallo ((7)/(4),(15)/(8)).

Una buona approssimazione della soluzione esatta è data dal punto medio di tale intervallo

tildex = ((7)/(4)+(15)/(8))/(2) = (29)/(16) ≃ 1.8125.

Approfondimento: f(x) è una funzione pari, pertanto se esiste una soluzione nell'intervallo [1,2] esisterà certamente un'altra soluzione nell'intervallo [-2,-1] simmetrica rispetto a quella ottenuta.
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