Studio di funzione logaritmica con argomento fratto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12046

avt
Matilde91
Cerchio
Buon pomeriggio! Mi aiutereste con lo studio di una funzione con logaritmo e argomento fratto? E' questa:

f(x)=ln({\frac{2x-3}{x-4}})

avrei bisogno di conferme innanzi tutto sul dominio e poi su tutto il resto ... emt Grazie mille!
 
 

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12055

avt
toyo10
Frattale
f(x)=\ln (\frac{2x-3}{x-4})

Dominio

{tex}\begin{cases}
\frac{2x-3}{x-4}>0 \\
x-4\neq 0
\end{cases} \rightarrow\mathbf{D}=\left \{ x \in \mathbb{R}: x<\frac{3}{2} , x>4 \right \}{/tex}

Avevi fatto bene?
Ce la fai ad andare avanti ora?
Ringraziano: Omega

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12056

avt
Omega
Amministratore
Ciao Matilde emt

E studiamola, questa funzione! emt Seguiamo il metodo generale per lo studio di funzione

f(x)=\ln{\left(\frac{2x-3}{x-4}\right)}

Per prima cosa, il dominio: dobbiamo richiedere che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo

\frac{2x-3}{x-4}>0

Per cui, studiando il segno del numeratore x>\frac{3}{2} e del denominatore x>4 troviamo che la frazione è positiva per x<\frac{3}{2}\vee x>4, e quindi il dominio è

Dom(f)=\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\cup \left(4,+\infty\right)

Passiamo allo studio del segno e delle intersezioni con gli assi: poniamo f(x)\geq 0, che equivale a

\ln{\left(\frac{2x-3}{x-4}\right)}\geq 0

ossia

\left(\frac{2x-3}{x-4}\geq 1

\left(\frac{2x-3}{x-4}- 1\geq 0

\left(\frac{2x-3-x+4}{x-4}\geq 0

\left(\frac{x+1}{x-4}\geq 0

Risolvendo la disequazione si trova che la funzione è positiva per x< -1\vee x> 4 e negativa sulle restanti parti del dominio.

L'unica intersezione con l'asse delle ascisse è data da x=-1, mentre per quanto riguarda l'asse delle ordinate abbiamo

f(0)=\ln{\left(\frac{3}{4}\right)}

In sintesi, le intersezioni sono date da (-1,0),\left(0,\ln{\left(\frac{3}{4}\right)}\right).

Per i limiti agli estremi del dominio, dobbiamo calcolare:

\lim_{x\to -\infty}{\ln{\left(\frac{2x-3}{x-4}\right)}=\ln{(2)}

(risultato che si deduce limitandosi a considerare gli infiniti principali - e unici - a numeratore e a denominatore)

\lim_{x\to +\infty}{\ln{\left(\frac{2x-3}{x-4}\right)}=\ln{(2)}

(idem come sopra)

\lim_{x\to \left(\frac{3}{2}\right)^{-}}{\ln{\left(\frac{2x-3}{x-4}\right)}=\ln{\left(\frac{0^{-}}{-\frac{5}{4}}\right)}=\ln{(0^{+})}=-\infty

(occhio che la seconda e la terza non sono uguaglianze bensì pseudouguaglianze, e valgono nel cntesto dell'algebra degli infinitesimi e degli infiniti)

\lim_{x\to 4^{+}}{\ln{\left(\frac{2x-3}{x-4}\right)}=\ln{\left(\frac{5}{0^{+}}}\right)}=\ln{(+\infty)}=+\infty

(idem come sopra)

Abbiamo quindi due asintoti verticali, x=\frac{3}{2},x=4 e un asintoto orizzontale, che è y=\ln{(2)}.

Derivata prima, monotonia, crescenza-decrescenza, punti estremanti, si stava meglio quando si stava peggio, non ci sono più le mezze stagioni, et cetera et cetera emt emt

Calcoliamo la derivata prima

f'(x)=\frac{1}{\frac{2x-3}{x-4}}\frac{2(x-4)-(2x-3)\cdot 1}{(x-4)^2}

ossia

f'(x)=\frac{-5}{(2x-3)(x-4)}

Dobbiamo studiarne il segno, indi per cui risolviamo la disequazione f'(x)\geq 0, ovvero

\frac{-5}{(2x-3)(x-4)}\geq 0

\frac{1}{(2x-3)(x-4)}\leq 0

Il denominatore è positivo su tutto il dominio della funzione f, quindi la disequazione non è mai soddisfatta sul dominio, quindi la derivata prima è negativa su tutto il dominio e la funzione è ovunque decrescente. Ergo: non ci sono estremanti relativi per la funzione considerata (e nemmeno assoluti: è illimitata sia superiormente che inferiormente)

La derivata seconda la vediamo? emt

[EDIT: Toyo, non avevo visto la tua risposta] emt
Ringraziano: Pi Greco, toyo10

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12058

avt
toyo10
Frattale
Assolutamente mi fa sempre piacere!emt
Ringraziano: Omega, Matilde91

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12153

avt
Matilde91
Cerchio
grazie a tutti per le risposte e scusatemi se non ho ringraziato prima ma la mia connessione fa i capricci! emt cmq sono contenta perche i conti mi tornano emt se avete un pò di tempo possiamo vedere anche la derivata seconda cosi vediamo se riesco a concludere in bellezza almeno un esercizio! grazie

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12155

avt
Omega
Amministratore
Certo che possiamo! emt

Per calcolare f''(x) si applica niente più e niente meno della regola di derivazione del rapporto di funzioni:

f''(x)=\frac{5[(2)(x-4)+(1)(2x-3)]}{D^{2}}

dove D^2=(2x-3)^2(x-4)^2, lo indico così perché tanto sarà irrilevante ai fini dello studio del segno.

f''(x)=\frac{5(4x-11)}{D^{2}}

Studiamone il segno: f''(x)\geq 0 vale se si prende

x\geq \frac{11}{4}

Noi avremo quindi che la funzione è convessa se

\{x\geq \frac{11}{4}\}\cap Dom(f)

mentre sulla restante parte del dominio la derivata seconda è negativa, quindi la funzione è concava. In x=\frac{11}{4} abbiamo un punto di flesso? No: tale punto non appartiene al dominio della funzione.

Il grafico è:

logaritmoNaturale2x 3fracx 4


Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Matilde91

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12161

avt
Matilde91
Cerchio
scusami se puntualizzo ma è per esser certa di aver capito:
il denominatore è irrilevante ai fini dello studio del segno perchè non appartiene al dominio o perchè essendo un quadrato so già che è positivo? emt

Studio di funzione logaritmica con argomento fratto #12163

avt
Omega
Amministratore
Non devi scusarti, fai bene a voler capire fino in fondo emt

La seconda delle due: gli unici punti che non rendono il denominatore positivo sono quelli in cui si annulla, ma tanto sono già stati esclusi preventivamente dal dominio emt
Ringraziano: Matilde91
  • Pagina:
  • 1
Os