Studio di funzione logaritmica con argomento fratto

Buon pomeriggio! Mi aiutereste con lo studio di una funzione con logaritmo e argomento fratto? E' questa:



avrei bisogno di conferme innanzi tutto sul dominio e poi su tutto il resto ... Grazie mille!

Dominio

{tex}\begin{cases}
\frac{2x-3}{x-4}>0 \\
x-4\neq 0
\end{cases} \rightarrow\mathbf{D}=\left \{ x \in \mathbb{R}: x<\frac{3}{2} , x>4 \right \}{/tex}

Avevi fatto bene?
Ce la fai ad andare avanti ora?

Ciao Matilde

E studiamola, questa funzione! Seguiamo il metodo generale per lo studio di funzione



Per prima cosa, il dominio: dobbiamo richiedere che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo



Per cui, studiando il segno del numeratore e del denominatore troviamo che la frazione è positiva per , e quindi il dominio è



Passiamo allo studio del segno e delle intersezioni con gli assi: poniamo , che equivale a



ossia









Risolvendo la disequazione si trova che la funzione è positiva per e negativa sulle restanti parti del dominio.

L'unica intersezione con l'asse delle ascisse è data da , mentre per quanto riguarda l'asse delle ordinate abbiamo



In sintesi, le intersezioni sono date da .

Per i limiti agli estremi del dominio, dobbiamo calcolare:



(risultato che si deduce limitandosi a considerare gli infiniti principali - e unici - a numeratore e a denominatore)



(idem come sopra)



(occhio che la seconda e la terza non sono uguaglianze bensì pseudouguaglianze, e valgono nel cntesto dell'algebra degli infinitesimi e degli infiniti)



(idem come sopra)

Abbiamo quindi due asintoti verticali, e un asintoto orizzontale, che è .

Derivata prima, monotonia, crescenza-decrescenza, punti estremanti, si stava meglio quando si stava peggio, non ci sono più le mezze stagioni, et cetera et cetera

Calcoliamo la derivata prima



ossia



Dobbiamo studiarne il segno, indi per cui risolviamo la disequazione , ovvero





Il denominatore è positivo su tutto il dominio della funzione , quindi la disequazione non è mai soddisfatta sul dominio, quindi la derivata prima è negativa su tutto il dominio e la funzione è ovunque decrescente. Ergo: non ci sono estremanti relativi per la funzione considerata (e nemmeno assoluti: è illimitata sia superiormente che inferiormente)

La derivata seconda la vediamo?

[EDIT: Toyo, non avevo visto la tua risposta]

Assolutamente mi fa sempre piacere!

grazie a tutti per le risposte e scusatemi se non ho ringraziato prima ma la mia connessione fa i capricci! cmq sono contenta perche i conti mi tornano se avete un pò di tempo possiamo vedere anche la derivata seconda cosi vediamo se riesco a concludere in bellezza almeno un esercizio! grazie

Certo che possiamo!

Per calcolare si applica niente più e niente meno della regola di derivazione del rapporto di funzioni:



dove , lo indico così perché tanto sarà irrilevante ai fini dello studio del segno.



Studiamone il segno: vale se si prende



Noi avremo quindi che la funzione è convessa se



mentre sulla restante parte del dominio la derivata seconda è negativa, quindi la funzione è concava. In abbiamo un punto di flesso? No: tale punto non appartiene al dominio della funzione.

Il grafico è:



Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere

scusami se puntualizzo ma è per esser certa di aver capito:
il denominatore è irrilevante ai fini dello studio del segno perchè non appartiene al dominio o perchè essendo un quadrato so già che è positivo?

Non devi scusarti, fai bene a voler capire fino in fondo

La seconda delle due: gli unici punti che non rendono il denominatore positivo sono quelli in cui si annulla, ma tanto sono già stati esclusi preventivamente dal dominio