Problema con gli asintoti in uno studio di funzione

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Problema con gli asintoti in uno studio di funzione #11816

avt
Matilde91
Cerchio
Buongiorno a tutti, sono assalita da dubbi sulla determinazione degli asintoti verticali nel seguente studio di funzione. emt

La funzione in questione è questa:

f(x)=\frac{x^3}{x^2+3x+2}

Dominio

D=(-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup(-1,+\infty)

Intersezione con asse x

x=0

Intersezione con asse y

y=0

Segno

f(x) è positiva per -2< x <-1 e x < 0

se il segno è corretto ho qualche problema a determinare gli asintoti verticali nel senso che dove la funzione mi risulta positiva trovo che l'asintoto tende a -{\infty} e non so come si possibile!mi spiego:

\lim_{x\to -1^-}{\frac{x^3}{x^2+3x+2}}=\frac{-1}{0^+}= -\infty

Cosa sbaglio? Grazie in anticipo!
 
 

Problema con gli asintoti in uno studio di funzione #11820

avt
Omega
Amministratore
Ciao Matilde emt

Lo svolgimento è...corretto! emt Anche perché credo che qui

segno

f(x) è positiva per -2< x <-1 e x < 0


tu intendessi x>0.

Per il resto seguiamo il procedimento per lo studio di funzione: per quanto riguarda l'asintoto verticale presente in x=-1:

\lim_{x\to (-1)^{-}}{\frac{x^3}{x^2+3x+2}}

per calcolare il limite scomponiamo il denominatore

\lim_{x\to (-1)^{-}}{\frac{x^3}{(x+2)(x+1)}}

e, in accordo con le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi, otteniamo \frac{-1}{(+1)(0^-)}=\frac{-1}{0^{-}} quindi

\lim_{x\to (-1)^{-}}{\frac{x^3}{(x+2)(x+1)}}=+\infty

Mentre, con analogo ragionamento

\lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{x^3}{(x+2)(x+1)}}=-\infty

L'errore che hai commesso consiste nel considerare, ad esempio per quanto riguarda l'intorno sinistro di -1, la quantità

(-1)^{-}

come una quantità più piccola di 1 in modulo. In realtà (-1)^{-} indica una quantità che si trova a sinistra di -1, quindi in modulo più grande di 1, e quindi

(-1)^{-}+1=0^{-}

Ho fatto centro? emt (Se vuoi disegnare il grafico della funzione, puoi farlo con il nostro tool online - quello del link).
Ringraziano: frank094

Problema con gli asintoti in uno studio di funzione #11822

avt
Matilde91
Cerchio
mmmm...no non hai fatto centro:mrgreen: ! il mio errore forse è stato un altro!in realtà io ho considerato il -1- come una quantità più grande in modulo però ho calcolato il limite senza scomporre il denominatore quindi ho sostituito -1- a x2 e quel quadrato mi ha reso positivo il valore di quel -1- e di conseguenza anche il "segno dello zero"(perdonatemi la licenza poetica:whistle: )
la domanda a questo punto è:non dovrei ottenere cmq lo stesso risultato pur non scomponendo il denominatore????? emt emt

Problema con gli asintoti in uno studio di funzione #11823

avt
Omega
Amministratore
D'OH! emt

emt

Sostituire direttamente (-1)^{-} nella funzione e quindi nel denominatore senza scomporlo funziona, ma è molto più "complicato" dal punto di vista delle valutazioni. Per questo conviene effettuare la scomposizione, infatti mette a nudo il fattore che genera l'infinitesimo, infinitesimo di cui è più semplice determinare il segno.

La licenza poetica è concessa emt perché in questo contesto è lecito (e doveroso! emt ) dire "segno dello zero", o "segno dell'infinitesimo" emt
Ringraziano: frank094

Problema con gli asintoti in uno studio di funzione #11824

avt
Matilde91
Cerchio
olre alla licenza poetica mi è concesso anche urlare e strapparmi i capelli....? emt quindi morale della favola il modo migliore per semplificarmi la vita è:" scomporre il denominatore"

grazie "infinitesimamente"

Problema con gli asintoti in uno studio di funzione #11825

avt
Omega
Amministratore
Assolutamente sì, e d'altra parte è sempre possibile farlo nel caso delle funzioni con denominatore polinomiale: se x=x_0 annulla il denominatore, che è un polinomio, un noto teorema dell'algebra garantisce che (x-x_0) divide il polinomio stesso, quindi...emt
Ringraziano: Matilde91
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Os