asintoto orizzontale #11648

avt
Matilde91
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per studiare gli asintoti di una funzione fratta con esponenziali. Come si fa?

Determinare gli asintoti della funzione

f(x)=\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{x}-2}

Grazie.
 
 

Re: asintoto orizzontale #11653

avt
Omega
Amministratore
Ciao Matilde,

consideriamo la funzione fratta

f(x)=\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^x-2}

Per prima cosa, ogni volta che c'è di mezzo una funzione, è bene sapere dove essa è definita, il che vuol dire: determiniamone il dominio.

L'unica condizione da imporre è che il denominatore non di annulli, quindi

e^{x}-2\neq 0\implies e^{x}\ne2\implies x\neq\ln(2)

dunque il dominio è l'unione di due intervalli

Dom(f)=(-\infty,\ln{(2)})\cup(\ln{(2)},+\infty)

Per determinare gli asintoti della funzione è necessario calcolare i limiti

\lim_{x\to-\infty}f(x) \ \ \ ; \ \ \ \lim_{x\to\ln(2)^{\pm}}f(x) \ \ \ ; \ \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

Cominciamo dal primo: impostiamo e calcoliamo il limite per x\to-\infty

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^x-2}

Pensiamo al comportamento della funzione esponenziale con base maggiore di 1 in un intorno di -\infty:

risulta che

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0

in altri termini il termine esponenziale è infinitesimo quando x\to-\infty a che fare con un infinitesimo, indi per cui il precedente limite vale

\lim_{x\to-\infty}{\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^x-2}}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}

e y=-\frac{3}{2} è asintoto orizzontale per f(x).

Consideriamo i limiti sinistro e destro per x\to\ln(2) partendo dal primo

\lim_{x\to\ln(2)^{-}}f(x)=\lim_{x\to\ln(2)^{-}}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{x}-2}

Osserviamo che quando x\to\ln(2) per valori minori di \ln(2) allora

- il termine e^{2x} tende al valore e^{2\ln(2)} che grazie alle proprietà dei logaritmi e della relazione fondamentale che lega l'esponenziale alla funzione logaritmica coincide con e^{\ln(2^2)}=4;

- il termine e^{x}\to e^{\ln(2)}=2, più precisamente se x\to\ln(2) da sinistra allora e^{x} tende a 2 per valori più piccoli di 2.

Con le informazioni in nostro possesso, e in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo che il limite per x\to\ln(2) da sinistra è +\infty

\lim_{x\to\ln(2)^{-}}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{x}-2}=\left[\frac{4-8+3}{0^{-}}\right]=\left[\frac{-1}{0^{-}}\right]=+\infty

Per quanto concerne il limite per x\to\ln(2) da destra, ossia per valori maggiori di \ln(2) otteniamo che:

- il termine e^{2x} tende a e^{2\ln(2)}=4;

- il termine e^{x} tende a e^{\ln(2)}=2 per valori maggiori di 2.

In definitiva, il limite per x\to\ln(2) da destra è -\infty e scriveremo

\lim_{x\to\ln(2)^{-}}f(x)=\lim_{x\to\ln(2)^{-}}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{x}-2}=\\ \\ \\ =\left[\frac{4-8+3}{0^{+}}\right]=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=-\infty

Analizziamo il comportamento di f(x) quando x\to+\infty. Impostiamo il limite

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^x-2}

che manifesta una forma indeterminata del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right]. Per semplificare un po' il calcolo, poniamo z=e^x, per cui al tendere di x\to +\infty risulta che z\to +\infty e dunque il limite si esprime nella forma equivalente

\lim_{z\to+\infty}\frac{z^2-4z+3}{z-2}

il confronto tra infiniti ci dice subito che il precedente limite vale +\infty, pertanto

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{x}-2}=+\infty

quindi in un intorno di +\infty non ci sono asintoti orizzontali.

Potrebbe manifestarsi un asintoto obliquo destro di equazione

y=mx+q \ \ \ \mbox{con} \ m\ne0

dove

m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\ \ \ \mbox{e}\ \ \ q=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-m]

rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine dell'eventuale asintoto.

Impostiamo il limite

m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^{x}-2}}{x}=

e scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{x(e^{x}-2)}=

Il limite si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo sciogliere considerando gli infiniti principali del numeratore e del denominatore

=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{xe^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty

Poiché il limite che definisce il coefficiente angolare non è finito possiamo concludere che la funzione non ammette asintoto obliquo.
Ringraziano: Pi Greco, frank094

Re: asintoto orizzontale #11660

avt
Matilde91
Cerchio
Scusami Omega potresti aiutarmi con il segno della funzione? Grazie.

Re: asintoto orizzontale #11669

avt
Omega
Amministratore
Eccomi!

Per determinare il segno della funzione, risolviamo la disequazione esponenziale fratta

f(x)\geq 0

ossia

\frac{e^{2x}-4e^{x}+3}{e^x-2}\geq 0

Per cui studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore.

Numeratore:

e^{2x}-4e^{x}+3\geq 0

Se sostituiamo z=e^x, otteniamo l'equazione di secondo grado

y^2-4y+3\geq 0

e scomponendo il polinomio nel prodotto

(y-3)(y-1)\geq 0

abbiamo segno positivo per

y\leq 1\vee y\geq 3

cioè per

e^{x}\leq 1\vee e^{x}\geq 3.

ATTENZIONE: la funzione esponenziale e^{x} è sempre positiva, quindi dobbiamo richiedere che

0<e^{x}\leq 1\vee e^{x}\geq 3

Naturalmente e>1, quindi passando ai risultati espressi in funzione di x

-\infty <x\leq 0 \vee x\geq \ln{(3)}

Denominatore: (occhio al maggiore stretto!)

e^x>2

vale a dire

x>\ln{(2)}

Ora guardiamo il segno complessivo della frazione: la frazione è positiva per

0<x< \ln{(2)}\vee >\ln{(3)},

negativa per

x<0\vee \ln{(2)}<x<\ln{(3)}

Dunque ci sono due intersezioni con l'asse delle ascisse:

(0,0)\ \ \  ; \ \ \ (\ln{(3)},0)

di cui la prima è anche intersezione con l'asse delle ordinate.
Ringraziano: Pi Greco, frank094

Re: asintoto orizzontale #11759

avt
Matilde91
Cerchio
Grazie!
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Os