asintoto orizzontale #11648

avt
Matilde91
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per studiare gli asintoti di una funzione fratta con esponenziali. Come si fa?

Determinare gli asintoti della funzione

f(x) = (e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^(x)-2)

Grazie.
 
 

Re: asintoto orizzontale #11653

avt
Omega
Amministratore
Ciao Matilde,

consideriamo la funzione fratta

f(x) = (e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^x-2)

Per prima cosa, ogni volta che c'è di mezzo una funzione, è bene sapere dove essa è definita, il che vuol dire: determiniamone il dominio.

L'unica condizione da imporre è che il denominatore non di annulli, quindi

e^(x)-2 ≠ 0 ⇒ e^(x) ne2 ⇒ x ≠ ln(2)

dunque il dominio è l'unione di due intervalli

Dom(f) = (-∞,ln(2)) U (ln(2),+∞)

Per determinare gli asintoti della funzione è necessario calcolare i limiti

lim_(x → -∞)f(x) ; lim_(x → ln(2)^(±))f(x) ; lim_(x → +∞)f(x)

Cominciamo dal primo: impostiamo e calcoliamo il limite per x → -∞

lim_(x → -∞)f(x) = lim_(x → -∞)(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^x-2)

Pensiamo al comportamento della funzione esponenziale con base maggiore di 1 in un intorno di -∞:

risulta che

lim_(x → -∞)e^(x) = 0

in altri termini il termine esponenziale è infinitesimo quando x → -∞ a che fare con un infinitesimo, indi per cui il precedente limite vale

lim_(x → -∞)(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^x-2) = (3)/(-2) = -(3)/(2)

e y = -(3)/(2) è asintoto orizzontale per f(x).

Consideriamo i limiti sinistro e destro per x → ln(2) partendo dal primo

lim_(x → ln(2)^(-))f(x) = lim_(x → ln(2)^(-))(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^(x)-2)

Osserviamo che quando x → ln(2) per valori minori di ln(2) allora

- il termine e^(2x) tende al valore e^(2ln(2)) che grazie alle proprietà dei logaritmi e della relazione fondamentale che lega l'esponenziale alla funzione logaritmica coincide con e^(ln(2^2)) = 4;

- il termine e^(x) → e^(ln(2)) = 2, più precisamente se x → ln(2) da sinistra allora e^(x) tende a 2 per valori più piccoli di 2.

Con le informazioni in nostro possesso, e in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi concludiamo che il limite per x → ln(2) da sinistra è +∞

lim_(x → ln(2)^(-))(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^(x)-2) = [(4-8+3)/(0^(-))] = [(-1)/(0^(-))] = +∞

Per quanto concerne il limite per x → ln(2) da destra, ossia per valori maggiori di ln(2) otteniamo che:

- il termine e^(2x) tende a e^(2ln(2)) = 4;

- il termine e^(x) tende a e^(ln(2)) = 2 per valori maggiori di 2.

In definitiva, il limite per x → ln(2) da destra è -∞ e scriveremo

lim_(x → ln(2)^(-))f(x) = lim_(x → ln(2)^(-))(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^(x)-2) = [(4-8+3)/(0^(+))] = [(-1)/(0^(+))] = -∞

Analizziamo il comportamento di f(x) quando x → +∞. Impostiamo il limite

lim_(x → +∞)(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^x-2)

che manifesta una forma indeterminata del tipo [(∞)/(∞)]. Per semplificare un po' il calcolo, poniamo z = e^x, per cui al tendere di x → +∞ risulta che z → +∞ e dunque il limite si esprime nella forma equivalente

lim_(z → +∞)(z^2-4z+3)/(z-2)

il confronto tra infiniti ci dice subito che il precedente limite vale +∞, pertanto

lim_(x → +∞)(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^(x)-2) = +∞

quindi in un intorno di +∞ non ci sono asintoti orizzontali.

Potrebbe manifestarsi un asintoto obliquo destro di equazione

y = mx+q con m ne0

dove

m = lim_(x → +∞)(f(x))/(x) e q = lim_(x → +∞)[f(x)-m]

rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine dell'eventuale asintoto.

Impostiamo il limite

m = lim_(x → +∞)(f(x))/(x) = lim_(x → +∞)((e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^(x)-2))/(x) =

e scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

= lim_(x → +∞)(e^(2x)-4e^(x)+3)/(x(e^(x)-2)) =

Il limite si presenta nella forma indeterminata [(∞)/(∞)] che possiamo sciogliere considerando gli infiniti principali del numeratore e del denominatore

= lim_(x → +∞)(e^(2x))/(xe^(x)) = lim_(x → +∞)(e^(x))/(x) = +∞

Poiché il limite che definisce il coefficiente angolare non è finito possiamo concludere che la funzione non ammette asintoto obliquo.
Ringraziano: Pi Greco, frank094

Re: asintoto orizzontale #11660

avt
Matilde91
Cerchio
Scusami Omega potresti aiutarmi con il segno della funzione? Grazie.

Re: asintoto orizzontale #11669

avt
Omega
Amministratore
Eccomi!

Per determinare il segno della funzione, risolviamo la disequazione esponenziale fratta

f(x) ≥ 0

ossia

(e^(2x)-4e^(x)+3)/(e^x-2) ≥ 0

Per cui studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore.

Numeratore:

e^(2x)-4e^(x)+3 ≥ 0

Se sostituiamo z = e^x, otteniamo l'equazione di secondo grado

y^2-4y+3 ≥ 0

e scomponendo il polinomio nel prodotto

(y-3)(y-1) ≥ 0

abbiamo segno positivo per

y ≤ 1 ∨ y ≥ 3

cioè per

e^(x) ≤ 1 ∨ e^(x) ≥ 3.

ATTENZIONE: la funzione esponenziale e^(x) è sempre positiva, quindi dobbiamo richiedere che

0 < e^(x) ≤ 1 ∨ e^(x) ≥ 3

Naturalmente e > 1, quindi passando ai risultati espressi in funzione di x

-∞ < x ≤ 0 ∨ x ≥ ln(3)

Denominatore: (occhio al maggiore stretto!)

e^x > 2

vale a dire

x > ln(2)

Ora guardiamo il segno complessivo della frazione: la frazione è positiva per

0 < x < ln(2) ∨ > ln(3),

negativa per

x < 0 ∨ ln(2) < x < ln(3)

Dunque ci sono due intersezioni con l'asse delle ascisse:

(0,0) ; (ln(3),0)

di cui la prima è anche intersezione con l'asse delle ordinate.
Ringraziano: Pi Greco, frank094

Re: asintoto orizzontale #11759

avt
Matilde91
Cerchio
Grazie!
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Os