Trovare gli asintoti nello studio di una funzione fratta

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Trovare gli asintoti nello studio di una funzione fratta #11594

avt
Matilde91
Cerchio
Ciao a tutti, Vorrei sapere come si procede per studiare questa funzione fratta, in particolare ho parecchi dubbi quando vado a determinare gli asintoti. La funzione è

f(x) = \frac{x+4}{x^2-9}

Grazie! emt
 
 

Trovare gli asintoti nello studio di una funzione fratta #11604

avt
frank094
Maestro
Ciao Matilde emt

Vediamo subito come studiare la seguente funzione! Il metodo per lo studio di funzione è descritto nella guida del link.

f(x) = \frac{x + 4}{x^2 - 9}

Poiché siamo in presenza di un denominatore il dominio si trova escludendo i punti che annullano il denominatore, ovvero

\mathfrak{D_{ominio}} = \mathbb{R} - \{-3, + 3\}

Passiamo ora allo studio del segno. Per trovare gli intervalli in cui la funzione f(x) è positiva, si deve semplicemente risolvere la disequazione fratta

\frac{x + 4}{x^2 - 9} \ge 0

Il numeratore è positivo per x\ge -4

Il denominatore è strettamente positivo per x<-3 \ \mbox{oppure} \ x>3

Riportando i risultati in una tabella per lo studio del segno si ha

f(x)\ge 0 \iff x\in \left[-4, -3 \right) \cup \left(3, + \infty \right)

f(x)<0 \iff x \in \left(- \infty, -4 \right) \cup \left(-3, 3 \right)

Con lo studio del segno abbiamo già osservato che la funzione si annulla per x=4, ovvero (4,0) è un punto di intersezione con l'[url=/domande-a-risposte/view/6002-asse-x.html]asse delle ascisse[/url]. Per trovare i punti di intersezione con l'asse y basta sostituire x=0. Si ha così

f(0)=-\frac{4}{9}

ossia

\left(0,-\frac{4}{9}\right)

è il punto in cui la funzione interseca l'asse delle ordinate.

Passiamo ora a calcolare i limiti agli estremi del dominio che ci forniranno le equazioni degli asintoti.

\lim_{x\to -3^+}{f(x)}=-\infty

\lim_{x\to -3^-}{f(x)}=+\infty

\lim_{x\to 3^+}{f(x)}=+\infty

\lim_{x\to 3^-}{f(x)}=-\infty

Infatti, in tutti e quattro i limiti, procedendo per sostituzione e ricordando le regole sull'algebra di infiniti e infinitesimi ricadiamo in un infinito. Per determinarne il segno basta vedere il segno che assume la funzione nell'intorno che stiamo considerando.

Ad esempio a sinistra del punto -3 la funzione è positiva e, di conseguenza:

\lim_{x\to -3^-}{f(x)}=+\infty

Basta ripetere lo stesso discorso per gli altri. Ad ogni modo

x=3 \mbox{ e } x=-3

sono asintoti verticali per la funzione.

Inoltre essendo

\lim_{x\to \pm \infty}{f(x)}=0

y=0 è un asintoto orizzontale il quale esclude la presenza di asintoti obliqui.

Come ultima cosa calcoliamo la derivata prima per ricercare gli eventuali punti di massimo e di minimo.

La funzione è data dal rapporto tra due funzioni derivabili perciò possiamo sfruttare la regola di derivazione di un rapporto tra funzioni secondo cui si ha

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \implies f'(x) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{[h(x)]^2}

Nel nostro caso si ottiene

f'(x) = \frac{(x^2 - 9) \cdot \frac{d}{dx}[x + 4] - (x + 4) \cdot \frac{d}{dx}[x^2 - 9]}{(x^2 - 9)^2}

Svolgiamo i calcoli a numeratore.

f'(x) = \frac{x^2 - 9 - 2x^2 - 8x}{(x^2 - 9)^2} = - \frac{x^2 + 8x + 9}{(x^2 - 9)^2}

Troviamo ora gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione tramite la disequazione

f'(x) \ge 0 \implies x^2 + 8x + 9 < 0

(osserva infatti che il denominatore, essendo un quadrato, è sempre positivo).

Abbiamo che la funzione cresce in

\left(- 4 - \sqrt{7}, - 4 + \sqrt{7} \right) - \{ - 3 \}

mentre decresce in

\left(- \infty, - 4 - \sqrt{7}\right) \cup \left(- 4 + \sqrt{7}, + \infty \right) - \{ + 3 \}

Ne risulta che

x = -4 - \sqrt{7} \to \text{Minimo relativo}

x = -4 + \sqrt{7} \to \text{Massimo relativo}

Per disegnare il grafico della funzione, puoi usare lo strumento del link. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Matilde91, Federica90

Trovare gli asintoti nello studio di una funzione fratta #11606

avt
Matilde91
Cerchio
Grazie mille! emt
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Os