Integrali indefiniti "potenza per derivata"

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Integrali indefiniti "potenza per derivata" #11503

avt
lullabi
Punto
Integrale di 2x/sqrt(x^2+1) dx
Riconosco che il numeratore è la derivata del denominatore e quindi posso applicare la proprietà integrale di f'(x)/f(x)dx = log|f(x)|+C ma così facendo non mi trovo.. emt Uff.

anche con questo integrale ho dei problemi
integrale di sqrt(3x+2) dx
Qualcuno può aiutarmi? :(
 
 

Integrali indefiniti "potenza per derivata" #11505

avt
frank094
Maestro
Ciao Lullabi,

fa attenzione perché il numeratore non è la derivata del denominatore, è la derivata della quantità sotto radice; ci troviamo di fronte ad un integrale del tipo

\int f'(x) [f(x)]^{\alpha} \, \mathrm{d}x = \left\{ \begin{array}{l  l} \frac{[f(x)]^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} & \alpha \neq - 1 \\ \log{|f(x)|} & \alpha = - 1 \end{array} \right.

Nel caso in esame si ha \alpha = - \frac{1}{2} perciò il risultato immediato è dato da

\int 2x \cdot (x^2 + 1)^{- 1/2} \, \mathrm{d}x = \frac{(x^2 + 1)^{- 1/2 + 1}}{- \frac{1}{2} + 1} + c = 2 \sqrt{x^2 + 1} + c

Il secondo integrale invece può essere riportato alla forma appena analizzata moltiplicando per un opportuno fattore; si ha infatti

f(x) = 3x + 2 \qquad \implies \qquad f'(x) = 3

Riscriviamo quindi l'integrale come

\int \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3x + 2)^{1/2} \, \mathrm{d}x

Per l'omogeneità dell'operatore integrale possiamo riscriverlo come

\frac{1}{3} \int 3 \cdot (3x + 2)^{1/2} \, \mathrm{d}x

Ci siamo dunque ricondotti alla forma voluta nel caso in cui \alpha = \frac{1}{2}..

\frac{1}{3} \int 3 \cdot (3x + 2)^{1/2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \frac{(3x + 2)^{1/2 + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{9} (3x + 2)^{3/2} + c

Tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, lullabi, Angel, Enzo123

Re: Integrali indefiniti "potenza per derivata" #11544

avt
lullabi
Punto
Grazie mille ora mi è tutto chiaro:) Sempre gentilissimi!
Ringraziano: Omega, frank094
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Os