Integrali indefiniti "potenza per derivata"

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#11503
avt
lullabi
Punto

Ho iniziato da poco lo studio degli integrali indefiniti e già riscontro delle difficoltà negli esercizi. Ho bisogno di una mano per calcolare l'integrale di una funzione irrazionale fratta. Secondo il libro, è un integrale immediato.

Determinare la famiglia delle primitive della funzione

f(x) = (2x)/(√(x^2+1))

Grazie.

#11505
avt
Ifrit
Amministratore

Il nostro obiettivo è quello di determinare la famiglia delle primitive della funzione irrazionale fratta

f(x) = (2x)/(√(x^2+1))

ossia dobbiamo calcolare l'integrale indefinito

∫ f(x) ,dx = ∫(2x)/(√(x^2+1)) ,dx

Per raggiungerlo ci avvarremo dell'integrale notevole

∫ [g(x)]^(α)·g'(x) ,dx = ([g(x)]^(α+1))/(α+1)+c se α ne−1 ; ln(|g(x)|)+c se α = −1

dove g'(x) è la derivata della base di [g(x)]^(α).

Il primo passo prevede di usare la definizione di potenza con esponente fratto e quella di potenza con esponente negativo per riscrivere l'integrale

∫(2x)/(√(x^2+1)) ,dx =

nella forma equivalente

= ∫ 2x·(x^2+1)^(−(1)/(2)) ,dx =

A questo punto basta osservare che g'(x) = 2x è la derivata di g(x) = x^2+1 e che l'esponente α è uguale a −(1)/(2). L'integrale notevole ci permette di scrivere che:

= ((x^2+1)^(−(1)/(2)+1))/(−(1)/(2)+1)+c = 2(x^2+1)^((1)/(2))+c = 2√(x^2+1)+c

dove c è una costante reale.

La famiglia delle primitive della funzione

f(x) = (2x)/(√(x^2+1))

è quindi

∫ f(x) ,dx = 2√(x^2+1)+c

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, lullabi, Angel, Enzo123
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