Integrali indefiniti "potenza per derivata" #11503

avt
lullabi
Punto
Ho iniziato da poco lo studio degli integrali indefiniti e già riscontro delle difficoltà negli esercizi. Ho bisogno di una mano per calcolare l'integrale di una funzione irrazionale fratta. Secondo il libro, è un integrale immediato.

Determinare la famiglia delle primitive della funzione

f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}

Grazie.
 
 

Integrali indefiniti "potenza per derivata" #11505

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo è quello di determinare la famiglia delle primitive della funzione irrazionale fratta

f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}

ossia dobbiamo calcolare l'integrale indefinito

\int f(x)\,dx=\int\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx

Per raggiungerlo ci avvarremo dell'integrale notevole

\int [g(x)]^{\alpha}\cdot g'(x)\,dx=\begin{cases}\dfrac{[g(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c&\mbox{se} \ \alpha\ne -1 \\ \\ \ln(|g(x)|)+c&\mbox{se}\ \alpha=-1\end{cases}

dove g'(x) è la derivata della base di [g(x)]^{\alpha}.

Il primo passo prevede di usare la definizione di potenza con esponente fratto e quella di potenza con esponente negativo per riscrivere l'integrale

\int\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx=

nella forma equivalente

=\int 2x\cdot(x^2+1)^{-\tfrac{1}{2}}\,dx=

A questo punto basta osservare che g'(x)=2x è la derivata di g(x)=x^2+1 e che l'esponente \alpha è uguale a -\frac{1}{2}. L'integrale notevole ci permette di scrivere che:

\\ =\frac{(x^2+1)^{-\tfrac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c=\\ \\ \\ =2(x^2+1)^{\tfrac{1}{2}}+c= \\ \\ =2\sqrt{x^2+1}+c

dove c è una costante reale.

La famiglia delle primitive della funzione

f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}

è quindi

\int f(x)\,dx=2\sqrt{x^2+1}+c
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, lullabi, Angel, Enzo123
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Os