Derivare una funzione composta con logaritmo e arcotangente

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Derivare una funzione composta con logaritmo e arcotangente #11280

avt
toccithebest
Cerchio
Ciao ragazzi e ragazze, mi potete spiegare prima teoricamente quali sono i passaggi per calcolare la derivata della funzione composta che segue? E poi come fare in pratica?

Perché io lo sò che la derivata del logaritmo è 1/x e quella di arctan(x) è 1/(1+x^2), ma prima di ciò che devo fare?

y = ln(ln(arctanx))

Grazie! emt
 
 

Derivare una funzione composta con logaritmo e arcotangente #11282

avt
frank094
Maestro
Ciao Toccithebest,

per risolvere questa derivata bisogna fare ricorso al teorema della derivazione composta, il quale ci dice che

f(x) = g(h(x)) \implies f'(x) = \frac{d}{dx} [h \circ g] = g'(h(x)) h'(x)


Nel nostro caso la funzione f data è

f(x) = \log{\left( \log{(\arctan{(x)})} \right)}


questo vuol dire che dovremo fare ricorso al suddetto teorema ben due volte, per la derivata "totale" e per quella della funzione interna al primo logaritmo.

Intanto scegliamo le funzioni g ed h tali che la loro composizione torna f.. si ha

g(x) = \log{(x)}

h(x) = \log{(\arctan{(x)})}


Dobbiamo derivare entrambe le funzioni per poi sostituire nella formula presentata in precedenza; la prima è banale, la seconda richiede qualche calcolo in più.

g'(x) = x^{-1}

h'(x) = \frac{d}{dx} \log{(\arctan{(x)})}

Per il calcolo di questa seconda derivata dobbiamo ricorrere, di nuovo, al teorema della derivazione composta ponendo questa volta

h = n \circ m \implies \left\{ \begin{array}{l  l} m(x) = \log{(x)} \\ n(x) = \arctan{(x)} \end{array} \right.

La derivata di questa due funzioni la conosciamo già, perciò passiamo direttamente al calcolo

h'(x) = m'(n(x)) n'(x) = \frac{1}{\arctan{(x)}} \frac{1}{1 + x^2}

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per il calcolo della derivata della funzione f..

f'(x) = g'(h(x)) h'(x) = \frac{1}{ \log{( \arctan{(x)} )}} \cdot \frac{1}{\arctan{(x)}} \frac{1}{1 + x^2}

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Yul

Derivare una funzione composta con logaritmo e arcotangente #11284

avt
toccithebest
Cerchio
no nn ci ho capito nulla xD emt

Derivare una funzione composta con logaritmo e arcotangente #11285

avt
toccithebest
Cerchio
che vuol dire d/dx

Derivare una funzione composta con logaritmo e arcotangente #11286

avt
frank094
Maestro
Una notazione come un'altra per indicare la derivata.. per capirci è equivalente scrivere

f'(x) = \dots

oppure

\frac{df}{dx} = \dots
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os