Problema ed applicazioni sulle derivate

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Problema ed applicazioni sulle derivate #11217

avt
giogio93
Punto
1)La derivabilità di una funzione f (x) definita in [a,b], in un punto di ascissa x=x0 , Interno ad a,b é condizione solo necessaria, solo sufficiente o necessaria e sufficiente per la continuità in tale punto? Richiamare il teorema relativo e illustrare con un esempio.




2) Mostrare che la funzione costante ha derivata nulla per ogni x appartenente ad r
 
 

Re: Problema ed applicazioni sulle derivate #11220

avt
Omega
Amministratore
Ciao Giogio93, non dimenticare al regolamento del Forum di attenerti al regolamento del Forum, ti ringrazio.

Per la prima delle due domande, la derivabilità in un punto è condizione sufficiente ma non necessaria per la continuità di una funzione f(x) in un punto. Viceversa, la continuità è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità di una funzione in un punto.

In parole povere: qualsiasi funzione che sia derivabile in un punto è sempre continua "per forza"; una funzione che è continua in un punto potrebbe essere anche derivabile ma se non è continua nel punto, sicuramente non è derivabile in tale punto.

Se vuoi approfondire con una lettura spiritosa che cosa sono le condizioni necessarie, sufficienti, necessarie & sufficienti, prova a leggere questo:

/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-da-r-a-r-in-generale/37-condizione-necessaria-sufficiente-necessaria-e-sufficiente-e-molto-semplice.html

Se vuoi vedere la dimostrazione di entrambi i precedenti fatti e l'esempio:

/forum/analisi-1/7637-problemi-di-logica-relazione-tra-continuita-e-derivabilita.html

Osserva che per dimostrare un risultato bisogna addurre una dimostrazione, mentre per confutare un risultato è sufficiente portare un controesempio (cioè un esempio per il quale il risultato da confutare non vale).

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Per vedere che una funzione costante f(x)=c ha derivata nulla in ogni punto di \mathbb{R}, è sufficiente calcolare la derivata secondo la definizione: come limite del rapporto incrementale

\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=

essendo f costante, si ha che f(x+h)=c=f(x)

\lim_{h\to 0}{\frac{c-c}{h}}=\lim_{h\to 0}{\frac{0}{h}}=0
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit, giogio93

Re: Problema ed applicazioni sulle derivate #11618

avt
giogio93
Punto
Grazie mille per la risposta accurata emt
Ringraziano: Omega
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Os