correzione esercizio n.5-limiti notevoli(intermediate)

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correzione esercizio n.5-limiti notevoli(intermediate) #11168

avt
Matilde91
Cerchio
Eccomi, l'esercizio è il numero 5 della scheda di esercizi sui limiti notevoli intermediate, ma il mio risultato è un "tantino" diverso. Perché per ottenere il limite notevole ho fatto una cosa del genere:

\lim_{x\to 0}({1+{\frac{1}{-{\frac{7}{2}x}})^{\frac{1}{x}{\frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{7}{2}}}

è un sacrilegio o è giusto ma ho sbaglito qualcos'altro?
 
 

Re: correzione esercizio n.5-limiti notevoli(intermediate) #11170

avt
frank094
Maestro
Ciao Matilde91, il limite che dobbiamo risolvere è

\lim_{x \to 0} \left( 1 - \frac{2}{7} x \right)^\frac{1}{x}

Dobbiamo chiaramente ricondurci al limite notevole

\lim_{x \to \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e


elevato ad un opportuno esponente. Nel nostro caso la x si trova al posto reciproco rispetto al notevole sia dentro la parentesi che per l'esponente.
Possiamo risolvere con una sostituzione y = x^{-1} oppure scrivendo x come il reciproco del reciproco ( hint scritto proprio nell'articolo degli esercizi ).

Procedo nel primo modo perché mi sembra più semplice e ti lascio l'altro per "esercizio".. poniamo quindi y = x^{-1}; il limite che viene fuori è

\lim_{y \to \pm \infty} \left( 1 - \frac{2}{7y} \right)^{y}

Facciamo adesso un altro cambio di variabile, nello specifico poniamo che sia

\frac{1}{t} = - \frac{2}{7y} \qquad \to \qquad t \to \mp \infty

andando a sostituire nel limite si ottiene

\lim_{t \to \mp \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{- \frac{2}{7}t}


Dalla proprietà delle potenze possiamo scrivere

\lim_{t \to \mp \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right]^{- \frac{2}{7}} = e^{- \frac{2}{7}}


E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Matilde91

Re: correzione esercizio n.5-limiti notevoli(intermediate) #11191

avt
Matilde91
Cerchio
si è chiaro e ti ringrazio davvero per la pazienza...ma io come faccio ad "inventarmi" tutte queste cose?nel senso che a me non viene spontaneo fare questi ragionamenti per arrivare alla soluzione...ed ho lo stesso problema con gli integrali che ancora non ho il coraggio di affrontare ... :( sono un caso disperato! grazie davvero

Re: correzione esercizio n.5-limiti notevoli(intermediate) #11203

avt
frank094
Maestro
Non preoccuparti, credo sia normale avere qualche problema con i primi.. vedrai che esercitandoti tanto questi ragionamenti ti verranno quasi naturali emt e così sarà anche con gli integrali.

E se dovessi avere qualche problema, ci siamo noi qui ad aiutare emt !
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Papy2000
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Os