Verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito con la definizione

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Verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito con la definizione #11114

avt
ma9Zry
Punto
Salve, mi aiutereste a verificare un limite con la definizione di limite finito? Sarebbe questo

lim_(x → 2)(x^2-4x+4) = 0

Grazie anticipatamente!
 
 

Verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito con la definizione #11118

avt
Omega
Amministratore
Per verificare il limite

lim_(x → 2)(x^2-4x+4) = 0

dobbiamo fare riferimento a quanto detto nella definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito nel caso di funzioni reali di variabili reali.

Consideriamo un arbitrario valore ε > 0 e imponiamo che

|f(x)-l| < ε •

dove f(x) = x^2-4x+4 è la nostra funzione e l = 0 è il valore del limite. In accordo con la definizione, vogliamo verificare che in corrispondenza dell'arbitrario ε > 0 scelto esiste un valore δ = δ(ε) (cioè dipendente da ε) tale che se si prende x per cui |x-x_0| < δ allora vale la disequazione •.

Per noi, naturalmente, sarà x_0 = 2.

Innanzitutto, osserviamo che la funzione considerata può essere riscritta nella forma

f(x) = (x-2)^2

per cui la disuguaglianza • diventa

 |(x-2)^2-0| < ε ; |(x-2)^2| < ε

Dato che il quadrato di un binomio è una quantità non negativa (maggiore-uguale a zero) possiamo lasciar perdere il modulo:

(x-2)^2 < ε

Chiamiamo per un istante y = x-2, cosicché possiamo scrivere

y^2 < ε

tale disequazione ammette come soluzioni

-√(ε) < y < +√(ε)

ossia

-√(ε) < x-2 < +√(ε)

La doppia disuguaglianza equivale a un sistema di due disequazioni:

x-2 > -√(ε) ; x-2 < √(ε)

ossia, in termini di modulo

|x-2| < √(ε)

Abbiamo finito, perché prendendo δ = √(ε) abbiamo trovato il valore di δ corrispondente al valore generico di ε inizialmente scelto.

Prova a dare uno sguardo a questo, potrebbero interessarti: esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione.
Ringraziano: Pi Greco, frank094, ma9Zry, umbria

Verifica di un limite finito per x tendente ad un valore finito con la definizione #11123

avt
ma9Zry
Punto
Grazie mille per la disponibilità! emt
Ringraziano: Omega
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Os