Limiti notevoli di funzioni trigonometriche

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Limiti notevoli di funzioni trigonometriche #11106

avt
Matilde91
Cerchio
Salve a tutti, sono ancora qui a combattere contro i limiti notevoli! Volevo sapere se, avendo un limite del rapporto di funzioni trigonometriche:

\lim_{x\to 0}\frac{2x^2+\tan(x^3)}{\sin^2(x)}
 
 

Limiti notevoli di funzioni trigonometriche #11131

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare il limite

\lim_{x\to 0}{\frac{2x^2+\tan{(x^3)}}{\sin^2{(x)}}}=

spezziamo la frazione nella somma di due frazioni

=\lim_{x\to 0}{\left[\frac{2x^2}{\sin^2{(x)}}+\frac{\tan{(x^3)}}{\sin^2{(x)}}\right]}=

poi, grazie all'algebra dei limiti, scriviamo il limite della somma come somma dei limiti

=\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{\sin^2(x)}+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{\sin^2(x)}=

Nel primo limite usiamo il limite notevole del seno due volte, basta esplicitare il prodotto

\\ =\lim_{x\to 0}\frac{2x\cdot x}{\sin(x)\cdot \sin(x)}+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{\sin^2(x)}= \\ \\ \\ = 2+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{\sin^2(x)}=

Nel secondo limite esplicitiamo il prodotto a denominatore

=2+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{\sin(x)\cdot \sin(x)}=(\bullet)

e ricordiamo che vale il limite notevole della tangente

\lim_{x\to \qualcosa}{\frac{\tan{f(x)}}{f(x)}}=1

applicabile a patto che f(x)\to 0 al tendere di x\to qualcosa. Nel nostro caso è tutto ok: prendiamo f(x)=x^3\to 0 per x\to 0.

Moltiplichiamo e dividiamo per x^3 la funzione del secondo limite:

\\ (\bullet)=2+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{\sin(x)\cdot \sin(x)}\frac{x^3}{x^3}= \\ \\ \\ = 2+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{x^3}\frac{x^3}{\sin(x)}

Utilizziamo il limite notevole della tangente

=2+\lim_{x\to 0}1\cdot\frac{x\cdot x\cdot x}{\sin(x)\cdot \sin(x)}=

e il limite notevole del seno

=2+\lim_{x\to 0}{x}=2

Fine! emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Matilde91

Limiti notevoli di funzioni trigonometriche #11166

avt
Matilde91
Cerchio
Fantastico, non so come farei senza di voi!!! emt emt emt
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Os