Integrale indefinito del quadrato di una funzione fratta

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Integrale indefinito del quadrato di una funzione fratta #11047

avt
Federica90
Cerchio
Buon pomeriggio. Ho problemi con un integrale elementare del quadrato di una funzione con un termine fratto, eccolo:

\int \left( \frac{1}{x} + 3 \right)^2 \, dx

Ho svolto prima il quadrato e poi ho fatto gli integrali separati, solo che il risultato dovrebbe essere

9x + 6\log(|x|) - \frac{1}{x} + c

ma non mi trovo. Qualcuno può aiutarmi? Grazie.
 
 

Re: Integrale indefinito del quadrato di una funzione fratta #11048

avt
frank094
Maestro
Ciao Federica90, per risolvere questo integrale è bene tenere a mente la regola secondo cui

\int x^{\alpha} \, dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}+c \qquad \alpha \neq - 1

(vedi la tabella delle formule di integrazione) Quando il parametro vale - 1, sappiamo che si tratta della derivata del logaritmo e di conseguenza il risultato è ovvio; vediamo di applicare il tutto al tuo integrale:

\int \left( \frac{1}{x} + 3 \right)^2 \, dx=

Come hai giustamente fatto notare qui conviene svolgere il prodotto e poi sfruttare le proprietà dell'operatore integrale.

=\int\left( \frac{1}{x^2} + 9 + \frac{6}{x}\right)dx=

Sappiamo che l'integrale è lineare ed omogeneo perciò possiamo riscrivere il tutto come

=\int \frac{1}{x^2} dx + 9 \int 1  dx + 6 \int \frac{1}{x} dx=

I primi due integrali sono facilmente risolvibili sfruttando la regola enunciata in precedenza; tieni conto che una potenza a denominatore si può riscrivere a numeratore come una potenza con esponente negativo

=\int x^{-2} \, dx + 9 \int 1 \, dx + 6 \int \frac{1}{x} \, dx=

Da cui si ottiene

=\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} + 9x + 6 \log{|x|} + c=

Svolgiamo le somme nel primo termine ed otteniamo il risultato finale

= - \frac{1}{x} + 9x + 6 \log{|x|} + c

L'esercizio è concluso.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Federica90, CarFaby, Christian1988

Re: Integrale indefinito del quadrato di una funzione fratta #11050

avt
Federica90
Cerchio
frank094...penso di aver sbagliato categoria :( pardon e grazie mille emt
potresti aiutarmi con un altro integrale? emt grazie

Re: Integrale indefinito del quadrato di una funzione fratta #11052

avt
frank094
Maestro
Nessun problema emt il topic è già spostato da qualche membro dello Staff!

Certo.. apri una nuova discussione e risolviamo emt !
Ringraziano: Omega, Federica90
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Os