Applicazione dei limiti notevoli #10981

avt
Matilde91
Cerchio
Ciao, continuano i miei dubbi in merito all'applicazione dei limiti notevoli. Ho questo esercizio:

 \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{2}{(1+4x)}}{2^{2x}-1}}

sto provando a svolgerlo cosi:

 \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{2}{(1+4x)}}{2^{2x}-1}}{\frac{4x}{4x}

per poi avere:

 \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{2}{(1+4x)}}{4x}}{\frac{4x}{2^{2x}-1}

ora per la prima parte uso il limite notevole e avrò come risultato

\frac{1}{\ln2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{4x}{2^{2x}-1}

se fin qui è giusto non so come andare avanti o meglio si può fare questo?:

 \lim_{x\to 0}{\frac{2x}{2^{2x}-1} \cdot  2

cosi da avere una costante che moltiplica un limite? Evidentemente no perchè avrei come risultato {\frac{2\ln2}{\ln2} che è uguale a 2 ma il risultato non è questo!

Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?
 
 

Applicazione dei limiti notevoli #10982

avt
Omega
Amministratore
Ciao Matilde91,

peccato perché lo svolgimento è giusto tranne che nell'ultimo passaggio :(

Innanzitutto è sacrosanta l'idea di riscrivere

\frac{1}{\ln{(2)}}\lim_{x\to 0}{\frac{4x}{2^{2x}-1}}

come

\frac{2}{\ln{(2)}}\lim_{x\to 0}{\frac{2x}{2^{2x}-1}}

hai solo sbagliato ad applicare il limite notevole dell'esponenziale:

\lim_{x\to\ qualcosa}{\frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}}=\ln{(a)}

valido a patto che f(x)\to 0 al tendere di x\to\ qualcosa

quindi otteniamo

\frac{2}{\ln{(2)}}\lim_{x\to 0}{\frac{2x}{2^{2x}-1}}=\frac{2}{\ln{(2)}}\frac{1}{\ln{(2)}}=\frac{2}{\ln^2{(2)}}

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit

Applicazione dei limiti notevoli #10984

avt
Matilde91
Cerchio
Scusa ma non capisco perché se il limite notevole dice che

 \lim_{x\to 0}{\frac{a^{f(x)}-1}{x}=\ln(a)

perché allora da questo limite

 \lim_{x\to 0}{\frac{2x}{{2x}-1}}

ottengo una forma del tipo \frac{1}{\ln(2)} ?

Applicazione dei limiti notevoli #11017

avt
Omega
Amministratore
In quel passaggio si applica una regola dell'Algebra dei limiti, ed in particolare il fatto che il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti. Quindi, se vale

\lim_{x\to qualcosa}\frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln(a)

allora ne consegue che

\lim_{x\to qualcosa}\frac{f(x)}{a^{f(x)}-1}=\lim_{x\to qualcosa}\frac{1}{\frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}}=\\ \\ \\ =\frac{\lim_{x\to qualcosa}{1}}{\lim_{x\to qualcosa}\frac{a^{f(x)-1}}{f(x)}}=\frac{1}{\ln(a)}
Ringraziano: LittleMar, Ifrit, Matilde91

Applicazione dei limiti notevoli #11018

avt
Matilde91
Cerchio
Grazie per il chiarimento di prima ma i miei problemi non finiscono...

Sto facendo esercizi semplici e non ho ancora preso dimestichezza con i "barbatrucchi"

{\lim_{x\to 0}{\frac{e^{\frac{3}{4}x}-1}{(1+x)^{\frac{3}{2}x}-1}

e procedo moltiplicando e dividendo per {\frac{3}{4}x} e mi riconduco al limite notevole, per cui riesco a risolvere parte dell'esercizio, però mi rimane

{\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{3}{4}x}{(1+x)^{\frac{3}{2}x}-1}

al numeratore mi servirebbe un (1+x) per ricondurmi al limite notevole potrei ottenerlo moltiplicando e dividendo per (1+x) ma poi avrei

{\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{3}{4}x}{(1+x)}{\frac{(1+x)}{(1+x)^{\frac{3}{2}x}-1}} e la seconda parte sarebbe molto facile da risolvere per la regola che mi hai spiegato prima ma di

{\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{3}{4}x}{(1+x)}

che me ne faccio?

Applicazione dei limiti notevoli #11019

avt
Omega
Amministratore
Matilde91 ha scritto:

al numeratore mi servirebbe un (1+x) per ricondurmi al limite notevole potrei ottenerlo moltiplicando e dividendo per (1+x) ma poi avrei

Attenzione: per il numeratore ti serve una x, infatti il limite notevole da usare è della forma

\lim_{x\to qualcosa}{\frac{(1+f(x))^\theta-1}{f(x)}}=\theta

che vale con \theta=cost ma che si estende benissimo al caso delle funzioni, a patto che \theta=\theta(x) non sia un infinito al tendere di x\to qualcosa. In tal caso però avremo

\lim_{x\to qualcosa}{\frac{(1+f(x))^{\theta(x)}-1}{f(x)}}=\lim_{x\to qualcosa}{\theta(x)}

Possiamo usare la x già presente a numeratore:

\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{3}{4}x}{(1+x)^{\frac{3}{2}x}-1}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}x}}=\pm \infty

dove il segno dell'infinito dipende da x\to 0^{\pm}.

Importante: come applicare i limiti notevoli.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Matilde91

Applicazione dei limiti notevoli #11020

avt
Matilde91
Cerchio
Voglio morire! emt

Grazie infinitamente per quello che fate...
Ringraziano: Pi Greco
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Os