Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10718

avt
Luigi
Punto
Salve potreste suggerirmi lo svolgimento di un integrale fratto con radice quadrata? E' l'integrale della funzione x^2/sqrt(1+x^2).

Spero mi aiutiate, grazie mille. emt
Ringraziano: Federica90
 
 

Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10724

avt
Federica90
Cerchio
forse ci sono emt allora...
procedo per sostituzione t=1+x^2 da cui x^2=1-t a questo punto sostituzione nell'integrale e avrò
integrale di 1-t/√t in dt
poi spezzo: integrale di 1/√t dt - integrale di t/√t dt che diventa integrale di 1/√t dt - integrale di √t
a questo punto scrivo la radice sotto forma di esponente e avrò
integrale di t^-1/2 dt - integrale di t^1/2 e ora integro
(t^-1/2+1/-1/2+1)- (t^1/2+1/1/2+1) calcolando si ha
t^1/2/1/2 - t^3/2/3/2 + c
facendo dei conti infine si ha
2t^1/2 - 2/3 t^3/2 + c
2√t - 2/3 √t^3 + c
sostituendo la t
2√1+x^2 - 2/3 √(1+x^2)^3 + c

Non so se è giusto...correggetemi..grazie
ora posso andare a dormire emt

Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10725

avt
Omega
Amministratore
@Federica: ho paura che non ce la caveremo pagando un dazio così basso...emt

@Luigi: l'integrale che proponi, apparentemente innocuo come un agnellino, è in realtà molto cattivo, specie se da risolversi con gli strumenti di quinta liceo. Cosa intendo con questo...

...intendo che, se si conoscono le funzioni iperboliche e le relative derivate, l'integrale non è complicato. Noi però, qui ed ora, non le conosciamo, e quindi dato che non sappiamo che cosa fare (emt ) cominciamo col sommare e sottrarre un 1 a numeratore

\int{\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx}=\int{\frac{x^2+1}{\sqrt{1+x^2}}dx}-\int{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx}

in entrambi gli integrali integriamo per sostituzione ponendo t=\sqrt{1+x^2}, la cui trasformazione inversa è data da

x=\sqrt{t^2-1}

ed ha differenziale

dx=\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt

Sostituiamo in ciascun integrale il tutto, ottenendo

\int{\frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}dt}-\int{\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}dt}

cioè

\int{\frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}dt}-\int{\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}dt}

\int{\frac{t^2-1}{\sqrt{t^2-1}}dt}

\int{\sqrt{t^2-1}dt}

A questo punto si può sostituire t=\frac{1}{\cos{(z)}} che ha differenziale dt=\frac{\sin{(z)}}{\cos^{2}{(z)}}dz.

L'integrale diventa

\int{\sqrt{\frac{1}{\cos^2{(z)}}-1}\frac{\sin{(z)}}{\cos^2{(z)}}dz}

\int{\sqrt{\frac{1-\cos^2{(z)}}{\cos^2{(z)}}}\frac{\sin{(z)}}{\cos^2{(z)}}dz}

grazie all'identità fondamentale della trigonometria

\int{\sqrt{\frac{\sin^2{(z)}}{\cos^2{(z)}}}\frac{\sin{(z)}}{\cos^2{(z)}}dz}

\int{\sqrt{\tan^2{(z)}}\frac{\sin{(z)}}{\cos^2{(z)}}dz}

\int{\tan{(z)}\frac{\sin{(z)}}{\cos^2{(z)}}dz}

\int{\tan^2{(z)}\frac{1}{\cos{(z)}}dz}

Riscriviamo l'integranda in termini di funzioni trigonometriche elementari

\int{\frac{\sin^2{(z)}}{\cos^2{(z)}}\frac{1}{\cos{(z)}}dz}

e in particolare in termini di coseni

\int{\frac{1-\cos^2{(z)}}{\cos^2{(z)}}\frac{1}{\cos{(z)}}dz}

\int{\left(\frac{1}{\cos^3{(z)}}-\frac{1}{\cos{(z)}}\right)dz}

spezziamo l'integrale nella somma di due integrali

\int{\left(\frac{1}{\cos^3{(z)}}dz}-\int{\frac{1}{\cos{(z)}}\right)dz}

Da qui in poi sapresti risolverlo? emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, Federica90, CarFaby

Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10734

avt
Federica90
Cerchio
omega non ce la farò mai :( :( :(

Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10735

avt
Omega
Amministratore
...C'è da dire che questo integrale non è esattamente dei più semplici emt

Re: Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10743

avt
Luigi
Punto
Omega, nn è possibile risolverlo per parti???? Grazie

Re: Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10744

avt
Omega
Amministratore
E' naturalmente possibile integrare per parti, ma non semplifica i calcoli: l'unica scelta sensata consiste nello scrivere l'integranda come

\int{\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx}=\int{x\cdot x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}dx}

e prendere f(x)=x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} come derivata. Basta infatti osservare che, in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta

\frac{d}{dx}(1+x^2)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}(2x)=x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}

e quindi una primitiva di f(x)=x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} è F(x)=\sqrt{1+x^2}. L'integrale diventa

\int{x\cdot x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}dx}=x\sqrt{1+x^2}-\int{\sqrt{1+x^2}dx}

che si può calcolare con le sostituzioni di Eulero...conosci questo metodo?
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, CarFaby

Re: Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10746

avt
toyo10
Frattale
Se posso intromettermi, ovviamente non conviene e non bisogna tentare di risolverlo per parti.

Qui abbiamo un polinomio sotto radice: quasi "per definizione" bisogna tentare di risolverlo per sostituzione.

Ti ricordo che l'integrazione per parti ci torna utile sono nel caso in cui abbiamo un prodotto di 2 funzioni f G dove G'=g deve migliorare, ma sopratutto \int f=F non deve peggiorare troppo.
Da qui i casi classici, che conoscerai molto bene, con le funzioni trigonometriche, le cui primitive non peggiorano troppo, proprio come vale per l'esponenziale e^x.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, rockhardridefree

Re: Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10748

avt
Ifrit
Ambasciatore
Io credo che alle superiori

\int \sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{1+x^2}) +c

possa essere considerato un integrale noto: dai un'occhiata alla tabella degli integrali fondamentali. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Federica90, CarFaby

Re: Calcolo integrale di x^2/sqrt(1+x^2) #10814

avt
Luigi
Punto
ok, è di aiuto!!!
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Os