Svolgimento degli esercizi sui limiti notevoli - scheda beginner

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Svolgimento degli esercizi sui limiti notevoli - scheda beginner #10660

avt
Matilde91
Cerchio
Potrei avere lo svolgimento dei primi quattro esercizi sui limiti notevoli (beginner) che avete proposto sul sito?

Calcolare i seguenti limiti usando i limiti notevoli:

\\ 1. \ \ \ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\ln(1+x)}\\ \\ \\ 2. \ \ \ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\ln(1+x^2)}\\ \\ \\ 3. \ \ \ \lim_{x\to \frac{5}{2}}\frac{e^{2x-5}-1}{\sin(2x-5)}\\ \\ \\ 4. \ \ \ \lim_{x\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}

Grazie.
 
 

Svolgimento degli esercizi sui limiti notevoli - scheda beginner #10661

avt
Omega
Amministratore
Tutti i limiti proposti si risolvono usando alcuni trucchi algebrici che permettono di ricondurli a limiti notevoli.


1. Limite del rapporto tra seno e logaritmo

Il limite

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\ln(1+x)}

genera una forma di indecisione del tipo \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere riconducendoci a due limiti notevoli:

- il limite notevole del seno

\lim_{f(x)\to 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1

applicabile ogniqualvolta che l'argomento del seno tende a zero;

- il limite notevole del logaritmo

\lim_{f(x)\to 0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}=1

applicabile ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende a 1. Si noti che f(x) è l'addendo che tende a zero dell'argomento.

Partiamo quindi da:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\ln(1+x)}=

moltiplichiamo e dividiamo per x

=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)\cdot x}{\ln(1+x)\cdot x}=

riordiniamo i fattori per ricondurci ai due limiti notevoli

=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac{x}{\ln(1+x)}=

e spezziamo il limite nel prodotto dei limiti

=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x}{\ln(1+x)}=1\cdot 1=1

Il primo è esattamente il limite notevole del seno, il secondo è invece il reciproco del limite notevole del logaritmo.


2. Limite del rapporto che coinvolge coseno e logaritmo

Per calcolare il limite

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\ln(1+x^2)}

faremo riferimento a due limiti ben precisi: il limite notevole del logaritmo, visto prima, e quello del coseno

\lim_{f(x)\to 0}\frac{1-\cos(f(x))}{[f(x)]^2}=\frac{1}{2}

valido nel momento in cui l'argomento del coseno tende a zero.

Partiamo quindi dal limite

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\ln(1+x^2)}=

e moltiplichiamo e dividiamo per x^2

=\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))x^2}{x^2\ln(1+x^2)}=

Riordiniamo i fattori

=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\cdot\frac{x^2}{\ln(1+x^2)}=

e spezziamo il limite del prodotto nel prodotto dei limiti

=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\ln(1+x^2)}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}

Il primo è esattamente il limite notevole del coseno e vale \frac{1}{2}, il secondo è invece il reciproco del limite notevole del logaritmo e vale 1.


3. Limite del rapporto che coinvolge l'esponenziale e il seno

Il limite

\lim_{x\to \frac{5}{2}}\frac{e^{2x-5}-1}{\sin(2x-5)}

si risolve utilizzando il limite notevole del seno e quello dell'esponenziale

\lim_{f(x)\to 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1

che possiamo sfruttare se l'esponente dell'esponenziale tende a zero.

Per x\to\frac{5}{2}, il termine 2x-5 tende a 0, per cui moltiplichiamo e dividiamo per questa espressione

\\ \lim_{x\to \frac{5}{2}}\frac{e^{2x-5}-1}{\sin(2x-5)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to\frac{5}{2}}\frac{(e^{2x-5}-1)(2x-5)}{(2x-5)\sin(2x-5)}=

Riordiniamo i fattori

=\lim_{x\to\frac{5}{2}}\frac{e^{2x-5}-1}{2x-5}\cdot\frac{2x-5}{\sin(2x-5)}=

dopodiché spezziamo il limite del prodotto nel prodotto dei limiti

=\lim_{x\to\frac{5}{2}}\frac{e^{2x-5}-1}{2x-5}\cdot\lim_{x\to\frac{5}{2}}\frac{2x-5}{\sin(2x-5)}=1\cdot 1=1

Il primo è il limite notevole dell'esponenziale ed è uguale a 1. Il secondo è invece il reciproco del limite notevole del seno e vale anch'esso 1.


4. Limite di una funzione esponenziale a base variabile

Per calcolare il limite

\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}

abbiamo bisogno del limite notevole che definisce il numero di Nepero

\lim_{f(x)\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e

Si noti che la base tende a 1, mentre l'esponente esplode a \pm\infty.

Partiamo quindi dal limite

\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}=

e riconduciamoci a quello notevole moltiplicando e dividendo l'esponente per 2x (è la nostra funzione f(x))

=\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x\cdot\tfrac{3x}{2x}}=

A questo punto usiamo le proprietà delle potenze e riscriviamo il limite nella seguente forma

\\ =\lim_{x\to\pm\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\tfrac{3x}{2x}}=

La base tende a e per il limite notevole; l'esponente si semplifica in \frac{3}{2}

=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\tfrac{3}{2}}=e^{\tfrac{3}{2}}

Abbiamo finito!
  • Pagina:
  • 1
Os