Problemi di massimo e di minimo #10070

avt
proudtobealbanian
Punto
Buongiorno ho due problemi di massimo e minimo e volevo chiedervi cosa dovrei fare per risolverli.

1) Individua due numeri la cui somma è 20 e per i quali la somma dei quadrati è minima.

2) In una ditta i costi per la produzione sono suddivisi in costi fissi (1000 euro) e costi variabili secondo la quantità q di merce prodotta. I costi variabili seguono la legge C(q)= 12q^2 - 960q. Il ricavo rispetto alla merce venduta v è dato da R(v)= 10v^2.
Supponendo che la quantità di merce prodotta e la quantità di merce venduta siano uguali, trova il quantitativo di merce per il massimo guadagno.
 
 

Re: Problemi di massimo e di minimo #10092

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao proudtobealbanian, vediamo come procedere. Ho pensato di utilizzare più metodi, vedi quale ti aggrada di più. emt

Primo problema

Abbiamo due numeri che chiamo x e y tali che:

x+y=20

La somma dei quadrati, matematicamente parlando, è la funzione di due variabili:

f(x,y)= x^2+y^2

Dobbiamo trovare quindi la coppia di numeri che sommati danno 20 ma che realizzano il minimo della funzione f.

Qui si aprono due strade:

• procediamo con il metodo di Lagrange per i massimi e minimi vincolati, prendendo come vincolo x+y-20=0

Questo metodo però è sconsigliato perché richiede molti conti.

• Dall'uguaglianza x+y=20 isoliamo una variabile, ad esempio y, al primo membro:

y= 20-x

Facendo in questo modo abbiamo espresso y in funzione di x. Sostituendo nella funzione f otterremo una funzione di una sola variabile:

g(x)=f(x, 20-x)= x^2+(20-x)^2= x^2+x^2-40x+400=

g(x)= 2x^2-40x+400

Osserviamo che la funzione g(x) rappresenta una parabola convessa (concavità verso l'alto), le coordinate del vertice della parabola rappresentano il punto di minimo (ascissa) il minimo assoluto (ordinata ) della funzione g.

V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)=

= \left(10, 200\right)

Abbiamo trovato il primo numero x=10, l'altro numero si ottiene semplicemente andando a sostituire il valore 10 nella espressione:

y=20-x\implies y= 20-10= 10

I due numeri cercati sono x=10, y=10

\cdot Altro metodo:

Partendo dalla funzione g(x)= 2x^2-40x+400 calcoliamo la derivata prima (per ricercare poi i massimi e minimi della funzione)

g'(x)= 4x-40

Il punto di minimo, se esiste, annulla la derivata prima (teorema di Fermat)

g'(x)=0\iff 4x-40=0\iff x= 10

Osserva che la derivata prima è positiva per x>10, mentre è negativa per x<10 conseguentemente si ha che:

La funzione g

• decresce in (-\infty, 10)
• cresce in (10, +\infty)

x=10 è un punto di minimo assoluto.

Per determinare l'altro numero è sufficiente sostituire il valore 10 al posto di x nell'espressione:

y=20-x\implies y= 20-10=10


Secondo problema

Abbiamo la funzione di costo totale definita da:

\mbox{costo totale}=\mbox{costi fissi}+\mbox{costi variabili}

Inquadriamo il discorso in un'ottica matematica: chiamiamo la funzione dei costi totali C_{\mbox{tot}}(q), data da:

C_{\mbox{tot}}(q)= \overbrace{1000}^{costi\,\, fissi}+\overbrace{C(q)}^{costi\,\, variabili}=

=1000+12q^2-960q

Il ricavo invece è in funzione della merce venduta:

R(v)= 10v^2

Per ipotesi sappiamo che la quantità di merce venduta v è uguale alla quantità di merce prodotta q, conseguentemente q=v.

Il guadagno è definito come la differenza tra il ricavo e il costo totale:

g(q)= R(q)-C_{\mbox{tot}}(q)=

= 10q^2-(1000+12q^2-960q)=

= 10q^2-1000-12q^2+960q=

-2q^2+960q-1000

Abbiamo ottenuto il guadagno in funzione del quantitativo di pezzi prodotti.

g(q)= -2q^2+960q-1000

Geometricamente rappresenta una parabola concava con massimo nel vertice di coordinate:

V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)= \left(-\frac{960}{-4}, \frac{-917600}{-4}\right)= (240, 114200)

Il quantitativo di merce è dato dall'ascissa del vertice quindi:

q=240.

______________


Massimo con le derivate

Abbiamo visto prima che la funzione di guadagno è:

g(q)=-2q^2+960q-1000

La derivata prima della funzione è

g'(q)=-4q+960

Il punto di minimo annulla la derivata prima:

g'(q)=0\iff -4q+960=0\iff q=240

Osserva che la derivata prima è positiva se q<480, è negativa per q>240

quindi la funzione g

• cresce in (-\infty,240 )

• decresce in (240, +\infty)

q= 240 è un punto di massimo ed è quello che stavamo cercando, rappresenta infatti la quantità da produrre (e vendere) per raggiungere il massimo guadagno. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094, proudtobealbanian

Re: Problemi di massimo e di minimo #10245

avt
proudtobealbanian
Punto
Grazie Ifrit! Sia per lo svolgimento dei problemi molto chiaro , passaggio per passaggio, sia per il pochissimo tempo impiegato per rispondermi emt
Ringraziano: Ifrit
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Os