Problemi di massimo e di minimo

Buongiorno ho due problemi di massimo e minimo e volevo chiedervi cosa dovrei fare per risolverli.

1) Individua due numeri la cui somma è 20 e per i quali la somma dei quadrati è minima.

2) In una ditta i costi per la produzione sono suddivisi in costi fissi (1000 euro) e costi variabili secondo la quantità q di merce prodotta. I costi variabili seguono la legge . Il ricavo rispetto alla merce venduta è dato da .
Supponendo che la quantità di merce prodotta e la quantità di merce venduta siano uguali, trova il quantitativo di merce per il massimo guadagno.

Ciao proudtobealbanian, vediamo come procedere. Ho pensato di utilizzare più metodi, vedi quale ti aggrada di più.

Primo problema

Abbiamo due numeri che chiamo x e y tali che:



La somma dei quadrati, matematicamente parlando, è la funzione di due variabili:



Dobbiamo trovare quindi la coppia di numeri che sommati danno 20 ma che realizzano il minimo della funzione f.

Qui si aprono due strade:

• procediamo con il metodo di Lagrange per i massimi e minimi vincolati, prendendo come vincolo

Questo metodo però è sconsigliato perché richiede molti conti.

• Dall'uguaglianza isoliamo una variabile, ad esempio y, al primo membro:



Facendo in questo modo abbiamo espresso y in funzione di x. Sostituendo nella funzione f otterremo una funzione di una sola variabile:





Osserviamo che la funzione rappresenta una parabola convessa (concavità verso l'alto), le coordinate del vertice della parabola rappresentano il punto di minimo (ascissa) il minimo assoluto (ordinata ) della funzione g.





Abbiamo trovato il primo numero , l'altro numero si ottiene semplicemente andando a sostituire il valore 10 nella espressione:



I due numeri cercati sono

Altro metodo:

Partendo dalla funzione calcoliamo la derivata prima (per ricercare poi i massimi e minimi della funzione)



Il punto di minimo, se esiste, annulla la derivata prima (teorema di Fermat)



Osserva che la derivata prima è positiva per x>10, mentre è negativa per x<10 conseguentemente si ha che:

La funzione

• decresce in
• cresce in

è un punto di minimo assoluto.

Per determinare l'altro numero è sufficiente sostituire il valore 10 al posto di x nell'espressione:




Secondo problema

Abbiamo la funzione di costo totale definita da:



Inquadriamo il discorso in un'ottica matematica: chiamiamo la funzione dei costi totali , data da:





Il ricavo invece è in funzione della merce venduta:



Per ipotesi sappiamo che la quantità di merce venduta v è uguale alla quantità di merce prodotta q, conseguentemente .

Il guadagno è definito come la differenza tra il ricavo e il costo totale:









Abbiamo ottenuto il guadagno in funzione del quantitativo di pezzi prodotti.



Geometricamente rappresenta una parabola concava con massimo nel vertice di coordinate:



Il quantitativo di merce è dato dall'ascissa del vertice quindi:

.

______________


Massimo con le derivate

Abbiamo visto prima che la funzione di guadagno è:



La derivata prima della funzione è



Il punto di minimo annulla la derivata prima:



Osserva che la derivata prima è positiva se , è negativa per

quindi la funzione

• cresce in

• decresce in

è un punto di massimo ed è quello che stavamo cercando, rappresenta infatti la quantità da produrre (e vendere) per raggiungere il massimo guadagno.

Grazie Ifrit! Sia per lo svolgimento dei problemi molto chiaro , passaggio per passaggio, sia per il pochissimo tempo impiegato per rispondermi