Calcolare il valore delle funzioni trigonometriche con condizione sull'angolo

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Calcolare il valore delle funzioni trigonometriche con condizione sull'angolo #8843

avt
JohnnyR
Cerchio
Salve, devo calcolare i valori delle rimanenti funzioni goniometriche conoscendo il valore di una funzione trigonometrica e con una condizione data sull'angolo.

Essendo dato:

1)\ \ \ \sin(\alpha)=\frac{7}{25} con 0 < alpha < Pi Greco/2.

2)\ \ \ \cos(\alpha)=-\frac{2}{5} con 180° < alpha < 270°

3)\ \ \ \cos(\alpha)=\sqrt{2} - 2 con 90°<alpha<180°.

Ho provato a usare la tabella dei valori delle funzioni trigonometriche, senza successo. Come dovrei fare?

Grazie!
 
 

Calcolare il valore delle funzioni trigonometriche con condizione sull'angolo #8850

avt
Omega
Amministratore
Ciao JohnnyR emt

Prendiamo il primo esercizio: la condizione 0< \alpha< \frac{\pi}{2} servirà nel seguito a determinare il segno della funzione trigonometrica sorella del seno. In che senso?

Nel senso che, conoscendo il valore del \sin{(\alpha)}, possiamo sfruttare l'identità fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche).

\sin^2{(\alpha)}+\cos^2{(\alpha)}=1

per esprimere il coseno in termini del seno senza conoscere esplicitamente l'ampiezza dell'angolo \alpha. Infatti si ricava

\cos{(\alpha)}=\pm\sqrt{1-\sin^2{(\alpha)}}

e sapendo che l'angolo si trova nel primo quadrante, il coseno dovrà necessariamente avere segno positivo (se servisse un ripasso, vedi seno e coseno).

Quindi, sapendo che \sin{(\alpha)}=\frac{7}{25}

\cos{(\alpha)}=+\sqrt{1-\frac{49}{625}}=\sqrt{\frac{576}{49}}=\frac{24}{7}

Da qui calcolare i valori delle restanti funzioni trigonometriche è semplice, infatti si tratta solo di fare riferimento alle definizioni (vedi tangente e cotangente, secante e cosecante).

\tan{(\alpha)}=\frac{\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}}

\cot{(\alpha)}=\frac{\cos{(\alpha)}}{\sin{(\alpha)}}

\sec{(\alpha)}=\frac{1}{\cos{(\alpha)}}

\csc{(\alpha)}=\frac{1}{\sin{(\alpha)}}


Per quanto riguarda il secondo esercizio, avendo per ipotesi che

180^{o}\leq \alpha\leq 270^{o}

sappiamo che coseno e seno assumono valori negativi, quindi dall'identità fondamentale della trigonometria abbiamo che

\sin{(\alpha)}=-\sqrt{1-\cos^{2}{(\alpha)}}

e così via... emt
Ringraziano: Pi Greco

Calcolare il valore delle funzioni trigonometriche con condizione sull'angolo #8958

avt
JohnnyR
Cerchio
Grazie mille come sempre!
Ringraziano: Omega
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Os