Equazione con logaritmi con basi diverse

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Equazione con logaritmi con basi diverse #76468

avt
murch
Punto
Ciao! Ho un problema con un'equazione logaritmica con due basi diverse, è la n. 6 della scheda di esercizi sulle equazioni logaritmiche livello intermediate

\log_{9}{(x)}+\log_{27}{(x)}=\frac{5}{6}

Come dicevo qualche giorno fa in un altro post, sono un nuovo iscritto e colgo nuovamente l'occasione per fare i complimenti per come è strutturato e gestito youmath!


Considerando che c'è un termine noto al di là dell'uguale, immagino che alla fine si dovrà forse arrivare a risolvere l'equazione come un'esponenziale, no? Ad ogni modo, arrivo al cambio di base

\log_9(x)+\frac{\log_9(x)}{\log_9(27)} = \frac{5}{6}

ma poi ho il dubbio su come proseguire.. dovrei forse fare il m.c.d?

Potreste gentilmente farmi vedere passo per passo, nel dettaglio, come si risolve? Ho letto la relativa lezione e infatti le equazioni beginner e anche altre della stessa pagina intermediate riesco a risolvere, ma per questa ho dei dubbi su come procedere...

Grazie mille in anticipo per il supporto!
 
 

Equazione con logaritmi con basi diverse #76476

avt
Galois
Amministratore
Ciao murch emt

Abbiamo l'equazione logaritmica

\log_{9}{(x)}+\log_{27}{(x)}=\frac{5}{6}

Come prima cosa dobbiamo imporre che sia

x>0

in accordo con la condizione di esistenza del logaritmo.

A questo punto, come suggerito nel testo dell'esercizio stesso, optiamo per un cambiamento della base del logaritmo.

\log_{27}(x)=\frac{\log_{9}(x)}{\log_{9}{(27)}}

Ora, semplicemente ricordando com'è definito il logaritmo (--> leggimi) abbiamo che

\log_{9}(27)=\frac{3}{2}

Ragion per cui

\log_{27}(x)=\frac{\log_{9}(x)}{\log_{9}{(27)}}=\frac{\log_{9}(x)}{\frac{3}{2}}=

(siamo di fronte ad una frazione di frazione)

=\frac{2}{3}\log_9(x)=

(per una proprietà dei logaritmi)

=\log_9\left(x^{\frac{2}{3}}\right)

Sostituendo nell'equazione iniziale vien fuori

\log_{9}{(x)}+\log_9\left(x^{\frac{2}{3}}\right)=\frac{5}{6}

Applicando, ora, la proprietà dei logaritmi per cui la somma di due logaritmi aventi la stessa base è un nuovo logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti si ha:

\log_9\left(x \cdot x^{\frac{2}{3}}\right)=\frac{5}{6}

Da cui, per le proprietà delle potenze

\log_9\left(x^{\frac{5}{3}}\right)=\frac{5}{6}

Passiamo ora all'esponenziale:

x^{\frac{5}{3}}=9^{\frac{5}{6}}

A questo punto, semplicemente scrivendo il 9 come 3^2 si ha

x^{\frac{5}{3}}=3^{2 \cdot \frac{5}{6}}

x^{\frac{5}{3}}=3^{\frac{5}{3}}

da cui, ovviamente

x=3

che è accettabile in quanto maggiore di zero emt
Ringraziano: Omega, murch, pantarei2010

Equazione con logaritmi con basi diverse #76550

avt
murch
Punto
Innanzitutto grazie per la tempestiva risposta, davvero gentilissimo!

Avrei giusto un'ultima domanda a riguardo:

Galois ha scritto:


\log_{27}(x)=\frac{\log_{9}(x)}{\log_{9}{(27)}}

Ora, semplicemente ricordando com'è definito il logaritmo (--> leggimi) abbiamo che

\log_{9}(27)=\frac{3}{2}



Quel \frac{3}{2} quindi come l'hai trovato?

Cioè: ok che per definizione (a posteriori) 3/2 è quel numero (in questo caso esponente frazionario) al quale elevando la base (9), si ottiene l'argomento (27)... ma a priori ci sei semplicemente arrivato con:

\sqrt{9^{3}}

Giusto, no?

Equazione con logaritmi con basi diverse #76553

avt
Galois
Amministratore
Come ben dici, per definizione, il

\log_a(b), \ \mbox{con} \ a,b > 0, \ a \neq 1

è quel numero c tale che, elevando la base (a) a tale numero (c), si ottiene l'argomento (b).

Scrivendo il tutto in formule abbiamo

\log_a(b)=c \iff a^c=b

Nel nostro caso abbiamo

\log_9(27)=?

?, diciamolo c, per quanto appena detto è quel numero tale che

9^c=27

questa è una immediata equazione esponenziale.

Scrivendo tutto in base 3 si ha

3^{2c}=3^3

da cui

2c=3

e quindi

c=\frac{3}{2}

emt
Ringraziano: Omega, murch
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Os