Equazione con logaritmi con basi diverse

Ciao! Ho un problema con un'equazione logaritmica con due basi diverse, è la n. 6 della scheda di esercizi sulle equazioni logaritmiche livello intermediate



Come dicevo qualche giorno fa in un altro post, sono un nuovo iscritto e colgo nuovamente l'occasione per fare i complimenti per come è strutturato e gestito youmath!


Considerando che c'è un termine noto al di là dell'uguale, immagino che alla fine si dovrà forse arrivare a risolvere l'equazione come un'esponenziale, no? Ad ogni modo, arrivo al cambio di base



ma poi ho il dubbio su come proseguire.. dovrei forse fare il m.c.d?

Potreste gentilmente farmi vedere passo per passo, nel dettaglio, come si risolve? Ho letto la relativa lezione e infatti le equazioni beginner e anche altre della stessa pagina intermediate riesco a risolvere, ma per questa ho dei dubbi su come procedere...

Grazie mille in anticipo per il supporto!

Ciao murch

Abbiamo l'equazione logaritmica



Come prima cosa dobbiamo imporre che sia



in accordo con la condizione di esistenza del logaritmo.

A questo punto, come suggerito nel testo dell'esercizio stesso, optiamo per un cambiamento della base del logaritmo.



Ora, semplicemente ricordando com'è definito il logaritmo (--> leggimi) abbiamo che



Ragion per cui



(siamo di fronte ad una frazione di frazione)



(per una proprietà dei logaritmi)



Sostituendo nell'equazione iniziale vien fuori



Applicando, ora, la proprietà dei logaritmi per cui la somma di due logaritmi aventi la stessa base è un nuovo logaritmo avente per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti si ha:



Da cui, per le proprietà delle potenze



Passiamo ora all'esponenziale:



A questo punto, semplicemente scrivendo il come si ha





da cui, ovviamente



che è accettabile in quanto maggiore di zero

Innanzitutto grazie per la tempestiva risposta, davvero gentilissimo!

Avrei giusto un'ultima domanda a riguardo:

Galois ha scritto:


Quel quindi come l'hai trovato?

Cioè: ok che per definizione (a posteriori) 3/2 è quel numero (in questo caso esponente frazionario) al quale elevando la base (9), si ottiene l'argomento (27)... ma a priori ci sei semplicemente arrivato con:



Giusto, no?

Come ben dici, per definizione, il



è quel numero tale che, elevando la base (a) a tale numero (c), si ottiene l'argomento (b).

Scrivendo il tutto in formule abbiamo



Nel nostro caso abbiamo



, diciamolo , per quanto appena detto è quel numero tale che



questa è una immediata equazione esponenziale.

Scrivendo tutto in base 3 si ha



da cui



e quindi