Sin(ArcTan(x)) - Dimostrazione formula seno dell'arcotangente

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Sin(ArcTan(x)) - Dimostrazione formula seno dell'arcotangente #75579

avt
gcappellotto47
Cerchio
Qual è la dimostrazione della formula per il seno dell'arcotangente sin(arctan(x))?

\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x

Qual è il procedimento per ricavarla?
Grazie mille
 
 

Sin(ArcTan(x)) - Dimostrazione formula seno dell'arcotangente #75591

avt
Omega
Amministratore
La dimostrazione è piuttosto semplice.

Considera la circonferenza goniometrica

definizione tangente

Chiamiamo y=z l'ordinata del punto T. In riferimento alla definizione di tangente di un angolo

z=\tan(\alpha)

con -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}. Nota che z è un'ordinata e dunque può essere positiva (primo quadrante), nulla (asse x) o negativa (quarto quadrante).

Ovviamente

\alpha=\arctan(z)

La retta passante per i due punti T,S ha equazione x=1, quindi possiamo esprimere la misura del lato OT usando il teorema di Pitagora

OT=\sqrt{1+|z|^2}=\sqrt{1+z^2}

Attenzione: nel primo passaggio ho scritto il valore assoluto |z| perché il teorema di Pitagora prevede di lavorare con le lunghezze dei lati, e la lunghezza di un lato è per definizione positiva.

D'altra parte grazie ai teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli sappiamo che il seno dell'angolo \alpha è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e dell'ipotenusa

\sin(\alpha)=\frac{|z|}{\sqrt{1+z^2}}

Questa formula vale nel caso del primo quadrante, dove tutte le coordinate sono positive. Per estenderla al quarto quadrante ci basta osservare che il seno e l'ordinata z hanno lo stesso segno, per cui

\sin(\alpha)=\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}

Poiché \sin(\alpha) ha lo stesso segno dell'ordinata z.

Effettuiamo la sostituzione

\sin(\arctan(z))=\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}

e abbiamo finito. In parole povere il seno dell'arcotangente di \alpha equivale all'ordinata del segmento OQ, in accordo con la definizione di seno dell'angolo \alpha.
Ringraziano: CarFaby, gcappellotto47, Iusbe, Distin
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Os