Disequazione goniometrica con seno, coseno e radicale

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Disequazione goniometrica con seno, coseno e radicale #7424

  • Jumpy
  • avt
  • Cerchio
Mi potreste aiutare a risolvere questa disequazione goniometrica con seno e coseno (c'è anche un radicale) spiegandola passaggio dopo passaggio, per piacere? emt

(1-2\sin{(x)})(2\cos{(x)}+\sqrt{3})\leq 0

 
 
 

Disequazione goniometrica con seno, coseno e radicale #7441

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao Jumpy! emt

Per risolvere la disequazione goniometrica

(1-2\sin{(x)})(2\cos{(x)}+\sqrt{3})\leq 0

è sufficiente studiare il segno dei due fattori separatamente e poi dedurne il segno del prodotto. In particolare, per semplificare lo svolgimento, conviene limitare lo studio del segno all'intervallo [0,2\pi] per poi estendere gli intervalli delle soluzioni a tutto \mathbb{R}, per periodicità.

[Importante!] Quando si studia il segno dei due fattori a parte, si pongono maggiori-uguali a zero e poi si cercano gli intervalli che rendono il prodotto minore-uguale a zero, come richiesto dalla disequazione

1-2\sin{(x)}\geq 0

\sin{(x)}\leq \frac{1}{2}

Limitandoci all'intervallo [0,2\pi] questa disequazione è verificata per

0\leq x\leq \frac{\pi}{6}\mbox{ }\vee\mbox{ }\frac{5\pi}{6}\leq x\leq 2\pi

Passiamo alla seconda disequazione:

2\cos{(x)}+\sqrt{3}\geq 0

da cui ricaviamo

\cos{(x)}\geq -\frac{\sqrt{3}}{2}

e che è verificata per

0\leq x\leq \frac{5\pi}{6}\mbox{ }\vee\mbox{ }\frac{7\pi}{6}\leq x\leq 2\pi

Ora vediamo su quali intervalli di [0,2\pi] è verificata la disequazione iniziale. Il prodotto è positivo per

\frac{\pi}{6}\leq x\leq \frac{7\pi}{6}

e quindi estendendo le soluzioni per periodicità abbiamo

\frac{\pi}{6}+2k\pi\leq x\leq \frac{7\pi}{6}+2k\pi

Ringraziano: Pi Greco, frank094, CarFaby
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