Risoluzione di un triangolo rettangolo con mediana e altezza

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Risoluzione di un triangolo rettangolo con mediana e altezza #71633

avt
Kahleesi
Punto
Salve, sono bloccata in un problema di Trigonometria che mi chiede di calcolare gli angoli acuti di un triangolo rettangolo avendo mediana e altezza: in particolare, sapendo che l'altezza relativa all'ipotenusa è uguale ad a e che la mediana relativa al cateto maggiore è uguale a \sqrt{\frac{7}{3}}\cdot a.


Chiamando gli angoli x e 90^{o}-x ho trovato il cateto maggiore in funzione di \cos(x) e poi col teorema dei seni ho calcolato il valore di un angolo del triangolino formato dalla mediana.

Arrivo al punto di utilizzare le formule di addizione e sottrazione per ricavarmi x ma mi viene un'identità...aiuto! emt
 
 

Re: Risoluzione di un triangolo rettangolo con mediana e altezza #71661

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Kahleesi emt

Iniziamo col disegnarci un triangolo rettangolo:

triang rett trigon


Dove abbiamo indicato con:

AB l'ipotenusa;

CH=a l'altezza ad essa relativa;

CB il cateto maggiore;

AM=\sqrt{\frac{7}{3}}a la mediana ad esso relativa;

Siano inoltre:

\alpha \ \mbox{e} \ \beta gli angoli rispettivamente opposti al cateto maggiore ed al cateto minore, cioè:

\alpha=C\hat{A}B, \ \mbox{e} \ \beta=C\hat{B}A.

Chiarito questo iniziamo emt

Consideriamo il triangolo CAH.

Esso è un triangolo rettangolo in quanto l'angolo C\hat{H}A è un angolo retto essendo CH altezza.

Per i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli (leggimi!) abbiamo che:

AC=\frac{CH}{\sin(\alpha)}=\frac{a}{\sin(\alpha)}

Allo stesso modo, considerando il triangolo rettangolo CHB possiamo dire che:

BC=\frac{CH}{\sin(\beta)}=\frac{a}{\sin(\beta)}

Ora, poiché i due angoli acuti sono complementari si ha che:

\sin(\beta)=\sin(90-\alpha)=\cos(\alpha)

(vedi relazioni archi associati)

Pertanto

BC=\frac{a}{\cos(\alpha)}

Osserviamo inoltre che essendo AM mediana, il punto M è punto medio per il segmento BC, ovvero

CM=\frac{BC}{2}=\frac{\frac{a}{\cos(\alpha)}}{2}=\frac{a}{2\cos(\alpha)}

In caso di dubbi vedi frazione di frazione emt

Prendiamo in esame il triangolo ACM che è retto in C. Per esso vale quindi il teorema di Pitagora:

AM^2=AC^2+CM^2

Sostituendo i valori noti e quelli appena trovati si ha

\left(\sqrt{\frac{7}{3}}a\right)^2 = \left(\frac{a}{\sin(\alpha)}\right)^2 + \left(\frac{a}{2\cos(\alpha)}\right)^2

ovvero

\frac{7}{3}a^2=\frac{a^2}{\sin^2(\alpha)}+\frac{a^2}{4\cos^2(\alpha)}

Dividendo membro a membro per a^2 (quantità sicuramente non nulla):

\frac{7}{3}=\frac{1}{\sin^2(\alpha)}+\frac{1}{4\cos^2(\alpha)}

Da cui

\frac{28\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}{12\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}=\frac{12\cos^2(\alpha)+3\sin^2(\alpha)}{12\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}

Essendo \alpha un angolo acuto di un triangolo rettangolo, esso sarà strettamente maggiore di zero e strettamente minore di 90° ed in tale intervallo seno e coseno non si annullano.

Possiamo quindi moltiplicare membro a membro per la quantità a denominatore (sicuramente non nulla per quanto appena osservato) e quindi ricondurci a:

28\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)=12\cos^2(\alpha)+3\sin^2(\alpha)

Ovvero ad un'equazione goniometrica non elementare.

Sfruttando la relazione fondamentale della trigonometria:

\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)

e sostituendo nell'equazione precedente abbiamo:

28\sin^2(\alpha)[1-\sin^2(\alpha)]=12[1-\sin^2(\alpha)]+3\sin^2(\alpha)

Ovvero dopo qualche rapido conticino

28 \sin^4(\alpha) - 37 \sin^2(\alpha) + 12 = 0

Ponendo t=\sin^2(\alpha)

ricadiamo in un'equazione di secondo grado:

28t^2-37t+12=0

che ha come soluzioni

t_1=\frac{4}{7}, \ t_2=\frac{3}{4}

Ricordandoci dell'imposizione fatta ricadiamo nelle due equazioni goniometriche elementari:

1 \bullet \ \sin^2(\alpha)=\frac{4}{7}

2 \bullet \ \sin^2(\alpha)=\frac{3}{4}

Partiamo dalla prima:

1 \bullet \ \sin^2(\alpha)=\frac{4}{7}

da cui:

\sin(\alpha)=\pm\sqrt{\frac{4}{7}}

che ci porta alle due equazioni goniometriche elementari:

\sin(x)=\sqrt{\frac{4}{7}}

\sin(x)=-\sqrt{\frac{4}{7}}

Non essendo due valori che compaiono nella tabella dei valori delle funzioni goniometriche dobbiamo ricorrere all'arcoseno:

Per la prima si ha:

\alpha_1=\arcsin\left(\sqrt{\frac{4}{7}}\right) \simeq 49,1 ^{\circ}

Per la seconda

\alpha_2=\arcsin\left(-\sqrt{\frac{4}{7}}\right) \simeq -49,1 ^{\circ}

(evidentemente non accettabile in quanto valore negativo).

Avendo trovato il valore di \alpha, l'angolo \beta misurerà:

\beta=90^{\circ}-\alpha \simeq 40,9^{\circ}

Passiamo ora alla seconda equazione

2 \bullet \ \sin^2(\alpha)=\frac{3}{4}

Procedendo allo stesso modo troverai altri due valori per \alpha di cui l'unico accettabile (in quanto positivo) è:

\alpha=60^{\circ}

(in questo caso si è più fortunati perché si hanno due valori noti)

da cui

\beta=30^{\circ}

Ora, abbiamo trovato due coppie di valori per gli angoli richiesti:

\alpha \simeq 49,1^{\circ}, \ \beta \simeq 40,9^{\circ}

e

\alpha = 60^{\circ}, \ \beta = 30^{\circ}

Vanno bene entrambe o dobbiamo scartarne una?

Ricordando il teorema per cui in un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore, sapendo che BC è il cateto maggiore (non per nulla ci viene detto dal testo del problema), l'angolo \alpha deve essere maggiore dell'angolo \beta.

Entrambe le coppie trovate soddisfano questa relazione e quindi entrambe saranno soluzioni del nostro problema emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os