Trasformare espressione goniometrica solo col coseno

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Trasformare espressione goniometrica solo col coseno #70773

avt
alex27riva
Punto
Ciao, sono nuovo, devo trasformare questa espressione goniometrica in modo che contenga solo il coseno:

2[\cos(a)-\sin(a)]^2+4\sin(a)[\sin(a)+\cos(a)]-5

Sostituisco \sin^2(a) con 1-\cos^2(a), e poi? Come procedo?
Grazie e scusate per la scrittura.
 
 

Trasformare espressione goniometrica solo col coseno #70797

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alex27riva emt

Ce la caviamo con un paio di conticini e con un paio di formule trigonometriche. Anzi, con una sola: l'identità fondamentale della Trigonometria.

2[\cos(a)-\sin(a)]^2+4\sin(a)[\sin(a)+\cos(a)]-5

La prima cosa da fare consiste nello sviluppare il quadrato del binomio

2[\cos^2(a)-2\cos(a)\sin(a)+\sin^2(a)]+4\sin(a)[\sin(a)+\cos(a)]-5

Calcoliamo i prodotti

2\cos^2(a)-4\cos(a)\sin(a)+2\sin^2(a)+4\sin^2(a)+4\sin(a)\cos(a)-5

Semplifichiamo il semplificabile

2\cos^2(a)+6\sin^2(a)-5

ed usiamo finalmente l'identità fondamentale della Trigonometria, per la quale

\sin^2(a)=1-\cos^2(a)

otteniamo così

2\cos^2(a)+6-6\cos^2(a)-5

ossia -4\cos^2(a)+1, che è un'espressione goniometrica contenente solamente il coseno dell'angolo.
Ringraziano: alex27riva

Trasformare espressione goniometrica solo col coseno #70808

avt
alex27riva
Punto
Omega ha scritto:
otteniamo così

2\cos^2(a)+6-6\cos^2(a)-5

ossia -4\cos^2(a)+1

Grazie mille per la tua risposta, mi ero dimenticato di fare il quadrato del binomio, però non ho capito molto l'ultimo passaggio:

2\cos^2(a)+6-6\cos^2(a)-5

Grazie!

Trasformare espressione goniometrica solo col coseno #70811

avt
Omega
Amministratore
Prego. emt

Attenzione:

2\cos^2(a)+6\sin^2(a)-5=

=2\cos^2(a)+6(1-\cos^2(a))-5

e sviluppa il prodotto.
Ringraziano: Pi Greco
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Os