Perimetro e area di un 17-agono regolare in Trigonometria

Ciao! Sono qui con un problema di Trigonometria su perimetro e area di un 17-agono regolare, faccio parecchia fatica a capire come risolverlo.
Vi ringrazio se potete darmi una mano!

Calcola il perimetro e l'area di un 17-agono regolare (cioè di un poligono regolare di 17 lati) inscritto in una circonferenza di raggio .

Io ho provato a risolverlo, e ho considerato che il 17-agono è composto da 17 triangolini, ognuno dei quali ha il lato lungo quanto il raggio del cerchio. Però purtroppo non riesco a continuare con la risoluzione, forse per qualche incomprensione.

Grazie ancora in anticipo!

Ciao Jennifer24

In effetti il tuo quesito è molto interessante perché richiedono diverse conoscenze.
Per prima cosa sappiamo che abbiamo a che fare con un poligono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r.

Possiamo dividere il poligono in tanti triangoli isosceli quanti sono i lati, in questo caso 17.

L'angolo al centro coincide con l'angolo al vertice di un triangolo isoscele ed è uguale a:



Lo si ottiene tramite la relazione:

dove n è il numero di lati del poligono regolare.

Se non ti ricordassi questa relazione puoi sempre procedere in questo modo

Approfondimento

Ricorda ora che la somma degli angoli interni di un poligono è data dalla relazione:



dove è il numero di lati. Nel nostro caso:



Poiché il poligono in questione è regolare allora sarà equiangolo, ovvero avrà gli angoli congruenti tra loro. Un solo angolo interno varrà quindi:




Perfetto.

Abbiamo parlato di triangoli isosceli, i cui angoli alla base sono congruenti e misurano:



Dei triangoli sappiamo inoltre che la somma degli angoli interni è , e conoscendo l'ampiezza degli angoli alla base, possiamo calcolare l'ampiezza dell'angolo al vertice:



Fine approfondimento

Ok, abbiamo le informazioni che ci servono, bisogna solo stare attenti ora.

Il triangolo isoscele può essere suddiviso in due triangoli rettangoli, basta tagliarlo per l'altezza relativa alla base.

Di esso conosciamo ovviamente l'angolo adiacente all'ipotenusa e vale:



Del triangolo rettangolo conosciamo inoltre l'ipotenusa che coincide con il raggio della circonferenza che circoscrive il 17-agono.
Finalmente facciamo intervenire le formule di trigonometria per i triangoli rettangoli. Possiamo calcolare la base del triangolo rettangolo che coincide con metà della base del 17-agono:



di conseguenza



Mentre l'altezza, che coincide con l'apotema del 17-agono è:



Abbiamo gli elementi che ci servono.

Per calcolare il perimetro dovremo moltiplicare la base per il numero di lati:



Per l'area del 17-agono, calcoleremo l'area di un triangolo rettangolo e la moltiplicheremo per 34:





Possiamo concludere finalmente che: