Massimi e minimi delle funzioni tangente e cotangente

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Massimi e minimi delle funzioni tangente e cotangente #69875

avt
chiaruz16
Punto
Ciao a tutti! Potreste dirmi quali sono i punti minimi e massimi delle funzioni tangente e cotangente? Grazie
 
 

Massimi e minimi delle funzioni tangente e cotangente #69885

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao chiaruz16 emt

Cominciamo con la funzione tangente.


Tangente

Già dal grafico della funzione f(x)=\tan(x) si comprende bene che non ha punti di massimo o punti di minimo, ma verifichiamolo con lo studio della derivata prima, ma per comodità ci mettiamo nell'intervallo fondamentale \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), poi sfrutti la periodicità.

La derivata della tangente è

f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}

ed è sempre positiva in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).

Osserva che essa non si annulla dunque non possono esserci punti stazionari.


Cotangente

Per la funzione cotangente utilizzeremo un ragionamento affine. Così come la funzione tangente, la funzione cotangente è periodica di periodo T=\pi, quindi ci mettiamo comodi nell'intervallo \left(0, \pi\right). Ho scelto questo intervallo perché in esso la cotangente è una funzione continua. Se non ha punti di massimo o punti di minimo qui, allora non ne avrà da nessuna parte.

La derivata della cotangente è

f'(x)=-\frac{1}{\sin^2(x)}\quad\mbox{ per ogni }x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

Possiamo osservare che la derivata è sempre negativa, di conseguenza la cotangente è una funzione decrescente.

La derivata prima non si annulla mai, quindi non può avere punti di massimo o punti di minimo.


Ti suggerisco di leggere le pagine che ti ho linkato, c'è praticamente scritto tutto quello che è necessario sapere (e anche di più). emt
Ringraziano: Galois, chiaruz16
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Os