Disequazione logaritmica con differenza di logaritmi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Disequazione logaritmica con differenza di logaritmi #66083

avt
ele88
Punto
Ciao! Ho provato a risolvere una disequazione logaritmica con la differenza di due logaritmi in base 4, a me viene impossibile mentre dovrebbe essere risolvibile. Mi potete spiegare dove sbaglio?

\log_4 (3+2x)-\log_4 (2x)<0


Io ho fatto così

4 ^{log_4 (3+2x)}-4^{log_4 (2x)}

che diventa

3+2x-2x > 0

0>-3

Impossibile

Sicuramente ho sbagliato qualcosa col logaritmo..emt
Grazie mille!!
 
 

Disequazione logaritmica con differenza di logaritmi #66095

avt
Galois
Coamministratore
Ciao ele88 emt

Siamo di fronte ad una disequazione logaritmica:

\log_4 (3+2x)-\log_4 (2x)<0

La prima cosa da fare è quindi trovare le condizioni di esistenza imponendo che l'argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di zero.

Avremo allora:

\begin{cases}3+2x>0 \\ 2x>0 \end{cases}

da cui:

\begin{cases}x>-\frac{3}{2} \\ x> 0\end{cases}

Sistema di disequazioni soddisfatto per x>0

A questo punto per risolvere la nostra disequazione basta far ricorso alle proprietà dei logaritmi, ed in particolare alla proprietà:

\log_{a}{\left(\frac{b}{c}\right)}=\log_{a}{b}-\log_{a}{c}

Per cui:

\log_4 (3+2x)-\log_4 (2x)=\log_4{\left(\frac{3+2x}{2x}\right)}

e quindi la nostra disequazione diventa:

\log_4{\left(\frac{3+2x}{2x}\right)}<0

Ancora, ricordando che:

0=\log_{4}1

Abbiamo:

\log_4{\left(\frac{3+2x}{2x}\right)}<\log_4{1}

Possiamo ora passare all'esponenziale e scrivere:

\frac{3+2x}{2x} < 1

Che è una disequazione fratta

Portando tutto a primo membro e dopo qualche conticino avremo:

\frac{3}{2x}<0

tale disequazione è soddisfatta per x<0

Ricordandoci ora che deve necessariamente essere x>0 (condizione d'esistenza), la nostra disequazione è impossibile.


Io ho fatto..

4 ^{\log_4 (3+2x)}-4^{\log_4 (2x)}

Che diventa

3+2x-2x > 0



Occhio che questo è un gravissimo errore! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby, ele88
  • Pagina:
  • 1
Os