Equazioni goniometriche 2

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Equazioni goniometriche 2 #6581

avt
Jumpy
Cerchio
2sen2x + Rad3senxcosx + 1 - cos2x =0
Risultati x=kpigrec v x=5/6pigrc+kpigrec
Grazies emt
 
 

Re: Equazioni goniometriche 2 #6584

avt
frank094
Maestro
Ciao Jumpy,
per risolvere questa equazione goniometrica di secondo grado possiamo sfruttare qualche trucchetto algebrico e ricondurla alla risoluzione di due semplici di primo grado.

2 \sin^2{(x)} + \sqrt{3} \cdot \sin{(x)} \cos{(x)} + 1 - \cos^2{(x)} = 0

La relazione fondamentale della goniometria ci dice che vale la seguente

\sin^2{(x)} = 1 - \cos^2{(x)}

Andiamo a sostituire nell'equazione iniziale per ottenere

3 \sin^2{(x)} + \sqrt{3} \cdot \sin{(x)} \cos{(x)} = 0

A questo punto raccogliamo \sqrt{3} \sin{(x)} tra i due termini

\sqrt{3}\sin{(x)} \cdot (\sqrt{3} \sin{(x)} + \cos{(x)}) = 0

Adesso possiamo risolvere due semplici equazioni di primo grado per trovare la soluzione iniziale grazie alla legge dell'annullamento del prodotto.

1) Prima equazione:

\sqrt{3} \sin{(x)} = 0

E' ovviamente verificata se e solo se il seno si annulla, perciò possiamo scrivere la soluzione come

x = k \pi \qquad k \in \mathbb{Z}

2) Seconda equazione:

\sqrt{3} \sin{(x)} + \cos{(x)} = 0

L'equazione è facilmente risolvibile notando che è possibile dividere per il coseno ( dato che i valori che lo annullano non sono soluzioni ):

\tan{(x)} = - \frac{1}{\sqrt{3}}

da cui si ottiene che

x = - \frac{\pi}{6} + k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}

Uniamo le soluzioni trovate con le due equazioni e abbiamo finito; tutto chiaro?
Ringraziano: Omega

Re: Equazioni goniometriche 2 #6606

avt
Jumpy
Cerchio
il libro mi dà risultati completamente diversi! anche a me usciva così! bho...

Re: Equazioni goniometriche 2 #6608

avt
frank094
Maestro
Beh .. i risultati sono questi. Anche quelli del libro sono giusti .. nota che

\frac{5\pi}{6}

è equivalente alla nostra soluzione ponendo k = 1 .. cambia solo l'indice di partenza emt !
Ringraziano: Omega
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Os