Espressione fratta con i logaritmi

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Espressione fratta con i logaritmi #65374

avt
ele88
Punto
Ciao a tutti, ho qualche difficoltà a risolvere le espressioni con i logaritmi. Anche se ho le formule di fianco, faccio fatica ad applicarle all'esercizio emt

Potreste aiutarmi con questa espressione?

\frac{2+\log_{16}(4)}{1+\log_{2}(16)}

[Edit - Mod: Omega] Qui c'era un tentativo di risoluzione, purtroppo c'era molto casotto con le formule TeX ed era incomprensibile. [/Edit]

Grazie mille! emt
 
 

Re: Espressione fratta con i logaritmi #65394

avt
Omega
Amministratore
A ben vedere, per semplificare l'espressione con i logaritmi che hai proposto non è necessario ricorrere ad alcuna delle proprietà dei logaritmi. Sarebbe sufficiente ricordare la definizione di logaritmo. emt

Consideriamo l'espressione

\frac{2+\log_{16}(4)}{1+\log_{2}(16)}

e, a parte

\log_{16}(4),\ \ \ \log_{2}(16)

Abbiamo due logaritmi di cui uno in base 16 e l'altro in base 2. Se riuscissimo ad esprimere gli argomenti come potenze delle relative basi concluderemmo l'esercizio in un secondo, perché a quel punto potremo usare la definizione di logaritmo e il gioco sarà fatto.

Per tagliare la testa al toro ti mostro come procedere con due metodi diversi, del tutto equivalenti. emt


PRIMO METODO - solo definizione.

Prendiamo il primo logaritmo \log_{16}(4) ed esprimiamo l'argomento come potenza della base

4=\sqrt{16}=16^{\frac{1}{2}}

dove ho semplicemente usato la definizione di radicale come potenza ad esponente fratto. Quindi

\log_{16}(4)=\log_{16}(16^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}

Per il secondo logaritmo

\log_{2}(16)

scriviamo 16 come potenza di 2

16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4

e quindi

\log_{2}(16)=\log_{2}(2^4)=4

Ora siamo in grado di valutare l'espressione

\frac{2+\log_{16}(4)}{1+\log_{2}(16)}=\frac{2+\frac{1}{2}}{1+4}=\frac{\frac{5}{2}}{5}=\frac{1}{2}

nell'ultimo passaggio ho usato la regola per le frazioni di frazioni.


SECONDO METODO

Se il primo logaritmo ci disturba, possiamo calcolarne il valore usando la formula del cambiamento di base in modo da riportarlo alla base 2

\log_{16}(4)=\frac{\log_{2}(4)}{\log_{2}(16)}=

ora scriviamo gli argomenti come potenze di 2

=\frac{\log_{2}(2^2)}{\log_{2}(2^4)}=

e usiamo la definizione di logaritmo

=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Fine, per concludere l'esercizio si procede esattamente come mostrato nel PRIMO METODO. emt
Ringraziano: CarFaby, ele88
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Os