Equazione esponenziale con basi diverse risolvibile con logaritmi

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Equazione esponenziale con basi diverse risolvibile con logaritmi #65299

avt
Heisenberg Cooper
Cerchio
Salve a tutti, avrei difficoltà nella risoluzione di questa equazione esponenziale con basi diverse che credo vada risolta facendo uso dei logaritmi

4^{x}+10^{x}=25^{x}

Ho cominciato scomponendo:

2^{2x}+5^{x}\cdot 2^{x}=5^{2x}

Visto che assomiglia a una equazione ho tentato l'utilizzo di una incognita ausiliaria. Non riuscendoci, ho tentato di scomporla ulteriormente ma senza successo.
Come dovrei procedere?
 
 

Equazione esponenziale con basi diverse risolvibile con logaritmi #65324

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Heisenberg,

L'equazione esponenziale da risolvere è:

4^x+10^x= 25^x

Osserviamo che

4^{x}= 2^{2x}

e

10^{x}= 2^{x} 5^{x}

e infine:

25^{x}= 5^{2x}

(ho utilizzato le proprietà delle potenze).

L'equazione si riscrive come:

2^{2x}+2^x 5^x= 5^{2x}

Mettiamo in evidenza 2^{2x} al primo membro:

2^{2x}\left(1+ \frac{5^{x}}{2^{x}}\right)= 5^{2x}

Dividiamo membro a membro per 2^{2x} così da ottenere:

1+ \frac{5^{x}}{2^{x}}= \frac{5^{2x}}{2^{2x}}

Osserva che per le proprietà delle potenze:

 \frac{5^{2x}}{2^{2x}}= \left(\frac{5}{2}\right)^{2x}

mentre

\frac{5^{x}}{2^{x}}= \left(\frac{5}{2}\right)^{x}

L'equazione diventa quindi:

1+\left(\frac{5}{2}\right)^{x}= \left(\frac{5}{2}\right)^{2x}

A questo punto possiamo porre t= \left(\frac{5}{2}\right)^x cosicché l'equazione possa essere riscritta come:

1+t= t^2

Abbiamo ottenuto l'equazione di secondo grado le cui soluzioni sono:

t_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}

Adesso ricorda che:

t= \left(\frac{5}{2}\right)^{x}

quindi ci riconduciamo a due equazioni esponenziali.

 \left(\frac{5}{2}\right)^{x}= \frac{1- \sqrt{5}}{2}

che non ammette soluzioni perché al secondo membro abbiamo una quantità negativa.

 \left(\frac{5}{2}\right)^{x}= \frac{1+ \sqrt{5}}{2}

applichiamo membro a membro il logaritmo in base \frac{5}{2} così da ottenere:

x= \log_{\frac{5}{2}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).

È possibile che il tuo risultato sia scritto in una base diversa. In tal caso dovrai utilizzare la formula di cambiamento di base per i logaritmi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Heisenberg Cooper

Equazione esponenziale con basi diverse risolvibile con logaritmi #65333

avt
Heisenberg Cooper
Cerchio
È riuscito perfettamente, grazie ancora!
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Os