Equazione esponenziale fratta con 3^x

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Equazione esponenziale fratta con 3^x #63468

avt
Chiara16
Punto
Ciao a tutti! Ho provato 2 volte a risolvere questa equazione esponenziale fratta, ma niente, non mi riesce! Qualcuno può aiutarmi?

Ecco il testo:

3^{-x} + \frac{3^{x}+2}{3^{x}+6} = \frac{24}{3^{2x}+6\cdot 3^{x}}

Grazie in anticipo
 
 

Equazione esponenziale fratta con 3^x #63478

avt
Iusbe
Templare
[Edit - Mod: Omega] Raccomandazione: leggere la discussione fino all'ultimo messaggio. [/Edit]


Molto bene: iniziamo!

Abbiamo la nostra equazione

\ 3^{-x} + \frac{3^{x}+2}{3^{x}+6} = \frac{24}{3^{2x}+6\cdot 3^{x}}

Cerchiamo di scomporre l'equazione in modo da renderla più gestibile:

\ 3^{-x} + \frac{3^{x}}{3^{x}+6} + \frac{2}{3^{x}+6} = \frac{24}{3^{2x}+6\cdot 3^{x}}

dopodiché spostiamo la frazione a destra dell'uguale a sinistra in modo ad eguagliare tutto a 0.

\ 3^{-x} + \frac{3^{x}}{3^{x}+6} + \frac{2}{3^{x}+6} -  \frac{24}{3^{2x}+6\cdot 3^{x}} = 0

Sempre per comodità, prendo il denominatore della frazione più lunga e lo riscrivo nel seguente modo (ciò serve a semplificare i calcoli che verranno!)

\ 3^{-x} + \frac{3^{x}}{3^{x}+6} + \frac{2}{3^{x}+6} -  \frac{24}{3^{2x}+2\cdot 3^{x+1}} = 0

Usiamo come denominatore comune 3^x e facilmente otteniamo

\ 3^{-x}(3^{x}-3) = 0

Ora studiamo i due casi:

1) caso: \ 3^{-x}= 0.

Si nota che l'equazione non è soddisfatta per alcun x\ \in \ \mathbb{R}.

2) Caso: \ 3^{x} - 3= 0 ossia \ 3^{x}=3, ossia \ 3^{x}=3^{1}.

La soluzione finale è: \ x=1


Un caro saluto! emt
Ringraziano: Chiara16

Equazione esponenziale fratta con 3^x #63480

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti,

@Iusbe: onestamente non ho capito il tuo svolgimento. C'è una strada molto più semplice e molto più algebrica che conduce alle soluzioni dell'equazione. emt

3^{-x} + \frac{3^{x}+2}{3^{x}+6} = \frac{24}{3^{2x}+6\cdot 3^{x}}

La prima cosa da fare è imporre eventuali condizioni di esistenza dato che ci troviamo di fronte a dei denominatori. Non c'è molto da fare, in realtà. I termini esponenziali 3^x,\ 3^{2x} sono positivi per ogni x\in\mathbb{R}. Dato che tutti i denominatori sono somma di termini positivi, non si annullano per alcun valore di x.

Dunque le condizioni di esistenza delle soluzioni sono: per ogni x.

Ora passiamo alla risoluzione diretta. Portiamo a sinistra il membro di destra, cambiandone il segno

3^{-x} + \frac{3^{x}+2}{3^{x}+6} - \frac{24}{3^{2x}+6\cdot 3^{x}}=0

La tentazione sarebbe quella di scrivere 3^{-x} come \frac{1}{3^x}. Possiamo farlo e possiamo non farlo, è indifferente. Io scelgo di non farlo. Di contro però scrivo il denominatore dell'ultima frazione effettuando un raccoglimento totale

3^{2x}+6\cdot 3^x=3^{x}\cdot 3^x+6\cdot 3^x=3^x(3^x+6)

quindi

3^{-x} + \frac{3^{x}+2}{3^{x}+6} - \frac{24}{3^{x}(3^x+6)}=0

Bene! Ora calcolare il denominatore comune è una sciocchezza

\frac{3^{-x}\cdot 3^x(3^x+6) + 3^x(3^{x}+2) - 24}{3^{x}(3^x+6)}=0

Possiamo tranquillamente cancellarlo perché abbiamo già tenuto conto delle CE

3^{-x}\cdot 3^x(3^x+6) + 3^x(3^{x}+2) - 24=0

adesso sì che ci troviamo d'innanzi ad un'equazione esponenziale. Procediamo: il primo termine può essere semplificato grazie ad una nota proprietà delle potenze

3^{-x}\cdot 3^x=3^{-x+x}=3^0=1

Dunque abbiamo

3^x+6 + 3^{2x}+2\cdot 3^x - 24=0

Riordiniamo un po' i termini

3^{2x}+3\cdot 3^x -18=0

e come spesso capita nel caso delle equazioni esponenziali di questo tipo, effettuiamo una sostituzione in modo da ricondurci ad un'equazione di secondo grado. Poniamo 3^x=z, ricaviamo

z^2+3z-18=0

risolvere questa equazione non è difficile. Ci basta usare la formula del discriminante

z_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+72}}{2}=\begin{cases}-6\\ +3\end{cases}

Torniamo all'incognita x. Ci troviamo di fronte a due equazioni

\\ z=-6\ \to\ 3^x=-6\ \to\ \mbox{impossibile}\\ z=3\ \to\ 3^x=3\ \to\ x=1

Abbiamo finito: l'unica soluzione dell'equazione è x=1. Da notare che l'equazione 3^x=-6 è impossibile perché l'esponenziale assume solamente valori positivi. emt

[Mod] Cortesemente, Chiara16, se in futuro posterai delle domande relative a degli esercizi non dimenticare di riportare un tentativo di svolgimento, indipendentemente dal fatto che sia giusto o sbagliato. E' espressamente richiesto dalle linee guida: in linea di massima le discussioni prive di una proposta di risoluzione vengono cancellate. Grazie :) [/Mod]
Ringraziano: Iusbe, Chiara16
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Os