Verifica di due identità trigonometriche con angoli di un triangolo qualsiasi

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Verifica di due identità trigonometriche con angoli di un triangolo qualsiasi #5364

avt
Jumpy
Cerchio
Non riesco a verificare due identità trigonometriche relative agli angoli di un triangolo: detti \alpha,\beta,\gamma sono gli angoli interni di un triangolo, valgono le seguenti identità:

\sin(\alpha+\beta+2\gamma)+\sin(\alpha+\beta)=0

\tan{\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\sin{(\alpha)} - \sin{(\beta)}}{\cos{(\beta)} - \cos{(\alpha)}}

e come al solito mi affido al vostro aiuto...grazie ragazzi!
 
 

Verifica di due identità trigonometriche con angoli di un triangolo qualsiasi #5378

avt
Omega
Amministratore
Ciao Jumpy, partiamo da un presupposto: che la somma degli angoli interni di un triangolo è \pi

a+b+c=\pi

(li indico così perché è noioso scrivere \alpha,\beta,\gamma in TeX) emt

Partiamo dalla prima identità:

\sin{(a+b+2c)}+\sin{(a+b)}=0

basta osservare che

a+b+2c=a+b+c+c=\pi+c

e che, grazie alle formule di addizione degli archi

\sin{(a+b+2c)}=\sin{(\pi+c)}=-\sin{(c)}

D'altra parte a+b=c-\pi e quindi

\sin{(a+b)}=\sin{(\pi-c)}=\sin{(c)}

La prima è andata. La seconda la cedo a qualche utente volenteroso. emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094

Verifica di due identità trigonometriche con angoli di un triangolo qualsiasi #5389

avt
frank094
Maestro
Ci penso io, Omega!

Dobbiamo dimostrare che in un triangolo qualunque vale la relazione

\tan{\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\sin{(\alpha)} - \sin{(\beta)}}{\cos{(\beta)} - \cos{(\alpha)}}

Lavoriamo semplicemente sul secondo membro sfruttando le formule di prostaferesi, secondo cui

\sin{(\alpha)} - \sin{(\beta)} = 2 \cos{\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} \sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}

\cos{(\alpha)} - \cos{(\beta)} = - 2 \sin{\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} \sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}

La cosa bella è che sostituendo il 2 e il secondo seno si semplificano; inoltre sapendo che in un triangolo vale la relazione

\pi - \gamma = \alpha + \beta

Possiamo sostituire per ottenere

\tan{\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\cos{\left( \frac{\pi - \gamma}{2} \right)}}{\sin{\left( \frac{\pi - \gamma}{2} \right)}}

Sfruttando gli angoli associati possiamo riscrivere il tutto come

\tan{\left( \frac{\gamma}{2} \right)} = \frac{\sin{\left( \frac{\gamma}{2} \right)}}{\cos{\left( \frac{\gamma}{2} \right)}} = \tan{\left( \frac{\gamma}{2} \right)}

Ed ecco fatto!
Ringraziano: Omega
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Os