Logaritmo con radici

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Logaritmo con radici #53577

avt
jubi
Punto
Ciao, ho provato e riprovato a svolgere un logaritmo con radici sia nell'argomento che nella base, ma non mi torna emt

\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[6]{2}}\right)


Mi aiutate per favore?
 
 

Logaritmo con radici #53578

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao jubi emt

Ho corretto il codice latex, controlla il testo dell'esercizio, per piacere emt
Ringraziano: jubi

Logaritmo con radici #53582

avt
jubi
Punto
esatto, il testo è corretto.. grazie emt

Logaritmo con radici #53586

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, ho ricorretto il latex. Abbiamo:

\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[6]{2}}\right)


La base del logaritmo è \sqrt{2}. Il nostro obiettivo è quello di esprimere l'argomento del logaritmo come una potenza con base \sqrt{2}, e questo è possibile grazie alle proprietà delle potenze e alle proprietà dei radicali.


Osserva che:

\sqrt[4]{8}= \sqrt[4]{2^3}=\sqrt{\sqrt{2^3}}= (\sqrt{2})^{\frac{3}{2}}

\sqrt[6]{2}= \sqrt[3]{\sqrt{2}}= (\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}

Di conseguenza per le proprietà di cui godono le potenze che hanno la stessa base scriveremo:

\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2})^{\frac{3}{2}}}{(\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}}= (\sqrt{2})^{1+\frac{3}{2}- \frac{1}{3}}= (\sqrt{2})^{\frac{13}{6}}

In definitiva:

\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[6]{2}}\right)=\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{\frac{13}{6}}= \frac{13}{6}


[Edit]: per piacere, la prossima volta inserisci anche un tentativo di soluzione, grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois

Logaritmo con radici #53587

avt
jubi
Punto
Avrei inserito volentieri il mio svolgimento ma ho qualche difficoltà con il codice latex e ci avrei messo mezz'ora per scriverlo (sbagliato, tra l'altro).

Io ho sbagliato questo passaggio:

\sqrt[4]{2^3} = \sqrt{\sqrt{2^3}}

non posso scrivere

\sqrt[4]{2^3} = 2^\frac{3}{4} ?

Logaritmo con radici #53589

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ricorda sempre qual è il tuo obiettivo: esprimere l'argomento del logaritmo come una potenza avente per base la stessa base del logaritmo emt

Il passaggio \sqrt[4]{2^3}= 2^{\frac{3}{4}} non è errato, ma non ti aiutava a portare a termine l'esercizio, nota infatti che 2^{\frac{3}{4}} è una potenza con base 2, a noi serve una potenza con base \sqrt{2} emt
Ringraziano: Omega, jubi

Logaritmo con radici #53592

avt
jubi
Punto
Ho provato a scrivere come l'avevo svolta io ma non mi riesce, è troppo complicato!

Comunque io l'ho svolta ponendo come base 2 alla 1/2 (solo che poi avevo sbagliato un calcolo e non mi tornava).

Grazie mille!!
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Os