Espressione trigonometrica con somme di angoli da semplificare

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Espressione trigonometrica con somme di angoli da semplificare #51947

avt
Francesco_Scodellaro
Punto
Mi sono imbattuto in un'espressione trigonometrica che devo semplificare (quest'anno inizio l'università e ne ho bisogno per l'esame di matematica generale)

 \sin{\left(2x-\pi/6\right)+2\cos^2{\left(\pi/3+x\right)}}

La prima parte è una differenza di seni e sono riuscito a svolgerla, ma quanto alla secondo termine non so come comportarmi con il 2\cos^2{\left(\pi/3+x\right)}.

Grazie a tutti per la disponibilità.
Francesco
 
 

Espressione trigonometrica con somme di angoli da semplificare #51986

avt
Ifrit
Ambasciatore
Cominciamo! emt

\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)= \sin(2x)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos(2x)

questo per la formula di addizione del seno

Ricorda che:

\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}

e

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}

Sostituisci nella precedente espressione così da ottenere:

\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)-\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}{2}


inoltre:

\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)= \cos(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)-\sin(x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)


Ora

\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{1}{2}


pertanto

\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)= \frac{1}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)

Elevando al quadrato membro a membro

\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)= \left(\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\right)^2=

= \frac{1}{4}\cos^2(x)+\frac{3}{4}\sin^2(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\cos(x)


quindi:

2\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\cos^2(x)+\frac{3}{2}\sin^2(x)-\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)

ora somma le due espressioni così da ottenere che:

\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+2\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)= 2\sin^2(x)

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Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
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Os