Espressione trigonometrica con somme di angoli da semplificare

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Espressione trigonometrica con somme di angoli da semplificare #51947

avt
Francesco_Scodellaro
Punto
Mi sono imbattuto in un'espressione trigonometrica che devo semplificare (quest'anno inizio l'università e ne ho bisogno per l'esame di matematica generale)

sin((2x-π/6)+2cos^2(π/3+x))

La prima parte è una differenza di seni e sono riuscito a svolgerla, ma quanto alla secondo termine non so come comportarmi con il 2cos^2(π/3+x).

Grazie a tutti per la disponibilità.
Francesco
 
 

Espressione trigonometrica con somme di angoli da semplificare #51986

avt
Ifrit
Amministratore
Cominciamo! emt

sin(2x-(π)/(6)) = sin(2x)cos((π)/(6))-sin((π)/(6))cos(2x)

questo per la formula di addizione del seno

Ricorda che:

cos(π)/(6) = (√(3))/(2)

e

sin((π)/(6)) = (1)/(2)

Sostituisci nella precedente espressione così da ottenere:

sin(2x-(π)/(6)) = (√(3))/(2) sin(2x)-(sin((π)/(6)))/(2)


inoltre:

cos(x+(π)/(3)) = cos(x)cos((π)/(3))-sin(x)sin((π)/(3))


Ora

sin((π)/(3)) = (√(3))/(2)

cos((π)/(3)) = (1)/(2)


pertanto

cos(x+(π)/(3)) = (1)/(2)cos(x)-(√(3))/(2)sin(x)

Elevando al quadrato membro a membro

cos^2(x+(π)/(3)) = ((1)/(2)cos(x)-(√(3))/(2)sin(x))^2 =

= (1)/(4)cos^2(x)+(3)/(4)sin^2(x)-(√(3))/(2)sin(x)cos(x)


quindi:

2cos^2(x+(π)/(3)) = (1)/(2)cos^2(x)+(3)/(2)sin^2(x)-√(3)sin(x)cos(x)

ora somma le due espressioni così da ottenere che:

sin(2x-(π)/(6))+2cos^2(x+(π)/(3)) = 2sin^2(x)

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Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois
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Os