Dedurre il risultato di un'espressione goniometrica a partire dal seno

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Dedurre il risultato di un'espressione goniometrica a partire dal seno #5082

avt
Jumpy
Cerchio
Ragazzi mi aiutereste a calcolare un'espressione goniometrica conoscendo il valore del seno dell'angolo?

Sapendo che sin(x) = -(1)/(2) e che x si trova nel secondo quadrante, calcolare il valore dell'espressione

tan(x)-tan(x)cos^2(x)

Mi potreste anche dire come si risolve?
 
 

Dedurre il risultato di un'espressione goniometrica a partire dal seno #5088

avt
Ifrit
Amministratore
Sappiamo che il seno dell'angolo x vale -(1)/(2) e dobbiamo calcolare il valore dell'espressione goniometrica

tan(x)-tan(x)cos^2(x)

Dal valore del seno di x possiamo calcolare il valore del coseno di x usando la relazione fondamentale della Trigonometria, secondo cui

sin^2(x)+cos^2(x) = 1

Esplicitiamola in favore del coseno al quadrato

cos^2(x) = 1-sin^2(x) =

e sostituiamo sin(x) = -(1)/(2)

= 1-(-(1)/(2))^2 = 1-(1)/(4) = (3)/(4)

Estraiamo la radice quadrata membro a membro e otteniamo che

|cos(x)| = (√(3))/(2)

La traccia dell'esercizio ci dice che ci troviamo nel secondo quadrante, dove il coseno è negativo, quindi:

cos(x) = -(√(3))/(2)

Possiamo ora calcolare il valore della tangente di x come rapporto tra seno e coseno

tan(x) = (sin(x))/(cos(x)) = (-(1)/(2))/((√(3))/(2)) = -(1)/(√(3))

e concludere l'esercizio risolvendo l'espressione assegnata:

tan(x)-tan(x)cos^2(x) = -(1)/(√(3))+(1)/(√(3))·(-(√(3))/(2))^2 = -(1)/(√(3))+(1)/(√(3))·(3)/(4) = -(1)/(4√(3))

È tutto!
Ringraziano: Pi Greco
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Os