Studio di una funzione esponenziale con numero di nepero

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Studio di una funzione esponenziale con numero di nepero #43341

avt
Emi
Cerchio
Salve a tutti amici di youmath...Come compito per le vacanze mi hanno assegnato lo studio di questa funzione con un termine esponenziale: spero abbiate passato tutti delle belle festività! emt

f(x)=x^{2}e^{x}

Qualcuno mi può dare una mano? Thanks...emt
 
 

Re: Studio di una funzione esponenziale con numero di nepero #43366

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Emi emt

Abbiamo la funzione:

f(x)= x^2 e^{x}

ed ha per dominio \mathbb{R}

Intersezione con gli assi:

Asse X.

Dobbiamo risolvere l'equazione:

x^2 e^{x}=0\iff x^2=0\iff x=0

Abbiamo un unico punto di intersezione con l'asse X che è (0,0)

Intersezione con l'asse Y è:

(0,0)

Segno della funzione:

f(x)>0 \iff x^2 e^{x}>0 \ \ \ \forall x\in \mathbb{R}-\{0\}

La funzione è positiva per ogni x del dominio escluso lo 0. Osserviamo infatti che x=0 annulla la funzione.

Limiti e asintoti

Dobbiamo calcolare due limiti agli estremi del dominio:

\lim_{x\to -\infty}x^2 e^{x}=0

Abbiamo un asintoto orizzontale di equazione y=0

\lim_{x\to \infty}x^2 e^{x}= +\infty

Dobbiamo controllare se abbiamo un asintoto obliquo, verificando che esiste finito il limite:

\lim_{x\to \infty}\frac{x^2 e^{x}}{x}= \lim_{x\to \infty}xe^{x}= +\infty

Poiché il limite non è finito allora non abbiamo asintoti obliqui.

Derivata prima per massimi e minimi

Per calcolare la derivata prima della funzione dobbiamo utilizzare le regole di derivazione e in particolare quella per il prodotto:

\\ f'(x)= D[x^2 e^{x}]= D[x^2]e^{x}+x^2 D[e^{x}]= \\ \\ = 2 x e^{x}+ x^2 e^{x}= xe^{x}(2+x)

Zeri della derivata prima.

f'(x)= 0\iff x e^{x}(2+x)=0

Abbiamo un prodotto di funzioni, esso è zero se e solo se almeno uno dei fattori è zero:

x=0\vee 2+x=0\iff x=-2

Abbiamo due punti che annullano la derivata prima e si candidano come punti di massimo o di minimo.

Studio del segno della derivata prima:

f'(x)>0\iff x e^{x} (2+x)>0

Abbiamo un prodotto di funzioni, studiamo separatamente ciascun fattore:

\\ x>0 \\ \\ e^{x}>0\quad \forall x\in\mathbb{R} \\ \\ 2+x>0\iff x>-2

Costruiamo dunque la tabella dei segni

\begin{matrix}x&:&- - - &(-2)&---&(0)&+++\\ e^{x}&:& +++&(-2)&+++&(0)&+++\\ 2+x&:& ---&(-2)&+++&(0)&+++\\ x e^{x}(2+x)&:&+++&(-2)&---&(0)&+++\end{matrix}

Quindi la derivata prima è positiva per x<-2 e per x>0

mentre la derivata prima per -2<x<0

Possiamo asserire che:

la funzione di partenza è crescente se x<-2\vee x>0

mentre è decrescente se -2<x<0 e quindi:

-2 è un punto di massimo mentre il massimo f(-2)= (-2)^2e^{-2}= 4 e^{-2}

0 è un punto di minimo, il minimo associato è f(0)= 0

Derivata seconda

f''(x)= e^{x}(x^2+4 x+2)

Studiamo gli zeri della derivata seconda:

\\ f''(x)=0\iff e^{x}(x^2+4x+2)=0\iff \\ \\ \iff x^2+4x+2=0

È sufficiente utilizzare la formula per le equazioni di secondo grado per ottenere le due soluzioni:

x=-2-\sqrt{2}\vee x= -2+\sqrt{2}

Questi due valori si candidano come punti di flesso:

Studiamo il segno della derivata seconda per determinare la concavità e la convessità:

f''(x)>0\iff e^{x}(x^2+4 x+2)>0\iff x<-2-\sqrt{2}\vee x>-2+\sqrt{2}

Possiamo quindi asserire che la funzione è convessa se x<-2-\sqrt{2} o x>-2+\sqrt{2}

mentre è concava se

-2-\sqrt{2}<x<-2+\sqrt{2}

dunque x=-2-\sqrt{2} e x=-2+\sqrt{2} sono punti di flesso.

Il grafico di funzione è:

grafico_funzione_ifrit


Ti consiglio di leggere le lezioni dedicate allo studio di funzione. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Emi, CarFaby

Re: Studio di una funzione esponenziale con numero di nepero dominio #43449

avt
Emi
Cerchio
Innanzitutto grazie per la spiegazione come sempre molto illuminante...emt
Ma ho ancora un piccolo dubbio... Per quanto riguarda il dominio non si dovrebbe escludere lo 0?

Re: Studio di una funzione esponenziale con numero di nepero dominio #43596

avt
Omega
Amministratore
Ciao,

assolutamente no, non ve n'è motivo: i due fattori sono continui, oltre che definiti su tutto \mathbb{R}. Vedi le regole per il dominio di funzioni.
Ringraziano: Pi Greco, Emi
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Os