Risolvere un triangolo rettangolo

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Risolvere un triangolo rettangolo #43010

avt
000Claudy000
Punto
Salve a tutti, io non ho capito come si svolge questo problema in cui devo risolvere un triangolo rettangolo, anche perché la professoressa non ci ha spiegato i problemi più "difficili".

Risolvere un triangolo rettangolo conoscendo la misura di un cateto in cm, 4sqrt(3) e sapendo che la somma dei seni dei suoi angoli acuti è di (sqrt(3)+1)/2.
Ringraziano: Simonaribaudo
 
 

Risolvere un triangolo rettangolo #43019

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao 000Claudy000 emt

vediamo come risolvere. Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è \pi. In particolare esiste una relazione che lega i due angoli acuti di un triangolo rettangolo (per le formule e le proprietà del triangolo rettangolo clicca qui) ed è la seguente:


siano \alpha, \beta i due angoli acuti di un triangolo rettangolo allora:

\alpha= \frac{\pi}{2}-\beta\quad \mbox{ con }0<\beta<\frac{\pi}{2}

Dall'esercizio sappiamo che:

\sin(\alpha)+\sin(\beta)= \frac{\sqrt{3}+1}{2}

Grazie alla relazione precedente possiamo scrivere:

\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)+\sin(\beta)= \frac{\sqrt{3}+1}{2}

Per le relazioni degli archi associati abbiamo che:

\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\cos(\beta)

quindi l'equazione diventa

\sin(\beta)+\cos(\beta)= \frac{\sqrt{3}+1}{2}

Risolvendo l'equazione lineare in seno e coseno, otterrai che:

\beta= \frac{\pi}{6}\vee \beta= \frac{\pi}{3}

Possiamo lavorare con uno delle due soluzioni. Prendiamo

\beta= \frac{\pi}{6}\implies \alpha = \frac{\pi}{2}-\beta= \frac{\pi}{3}


Possiamo asserire quindi che:

\sin(\alpha)= \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}

e

\sin(\beta)= \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{1}{2}

Adesso utilizzando il teorema sul triangolo rettangolo dovresti riuscire a concludere.

A mio parere però il problema non ammette un'unica soluzione. Se avessimo qualche informazione in più sul cateto (è quello minore? maggiore?) saremmo in grado di determinare univocamente la soluzione.

I due triangoli che soddisfano le condizioni dell'esercizio sono quelli di vertici ABD e ABC che vedi nel disegno


triangolo_rettangolo_ifrit
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, santosmiglia, andrew1993
  • Pagina:
  • 1
Os