Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato!

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Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42727

avt
Galois
Amministratore
Salve ragazzi.
Con grande emozione posto la mia domanda su YouMath emt

Certo, per un laureando in matematica fare una domanda su un'equazione esponenziale è un po' un colmo (emt ), ma da ieri pomeriggio mi assilla un dubbio che devo togliermi.

Stavo facendo ripetizioni ad un ragazzo di scuola superiore e ci siamo imbattuti in questa equazione esponenziale:

\sqrt[x]{81} - \sqrt[x]{9} =3^{\frac{x+2}{x}}-4

Dopo aver posto

x\neq 0

abbiamo proceduto in questo modo:

3^{4\frac{1}{x}} - 3^{2\frac{1}{x}}- 3*3^{2\frac{1}{x}}+4=0

quindi abbiamo posto

3^{\frac{2}{x}} = t

e sostituendo:

t^{2} - t - 3t + 4 = 0

da cui

(t-2)^{2}=0

e quindi

t=2

Tornando alla variabile x, si ha:


3^{\frac{2}{x}} = 2

da cui

\frac{2}{x} = log_{3}(2)

e quindi

x=\frac{2}{log_{3}2}

Portando il risultato in logaritmo naturale si ha:

x=\frac{2}{\frac{ln2}{ln3}}=\frac{2ln3}{ln2} = \frac{ln9}{ln2}

pensavo stesse bene e sinceramente non avevo dubbi.

Andiamo a guardare il risultato sul libro ed ecco la sorpresa (riporto le parole del libro):

Soluzione: x=\frac{ln9}{ln2}, NON ACCETTABILE, perché...
emt emt emt emt emt

Il motivo lo dovevamo dire noi..

Ci ho pensato e ripensato, ma non riesco a trovare il motivo per cui tale soluzione non dovrebbe essere accettabile..

Sapreste darmi qualche delucidazione in merito?

Grazie!
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42732

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Galois emt

La questione che poni è spinosa, l'unica giustificazione che mi sento di darti è che il libro intende:

\sqrt[x]{\cdot}

come la radice x-esima che è definita per x\in \mathbb{N}_{>1}. Ti pare una giustificazione accettabile? emt
Ringraziano: Galois

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42740

avt
Galois
Amministratore
Avevo pensato anch'io ad una risposta del genere, però si tratta di un libro del 4° anno di un istituto tecnico industriale e non penso consideri solo radici con indici naturali e maggiori di 1, anche perché andando a guardare, a tale scopo, altre equazioni esponenziali simili a quella da me postata, come risultato porta risultati simili, dove di certo l'indice non era naturale e a volte addirittura negativo.

Quindi non saprei proprio.. a questo punto mi viene da pensare ad un errore del libro emt

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42744

avt
Omega
Amministratore
Ciao ragazzi emt

Condivido la vostra opinione, probabilmente il libro vuole solo risultati interi...anche perché le condizioni di esistenza richiedono di imporre solamente x\neq 0.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42745

avt
Ifrit
Amministratore
Scusami, mi sono espresso male.

La questione è questa. La funzione esponenziale:

f(x)= a^{\frac{1}{x}} è l'estensione ai reali della funzione:

f(n)= \sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n}}

Quest'ultima è definita per \forall n\in\mathbb{N}, n>1. Quando il libro scrive \sqrt[x]{\cdot} lascia intendere che x\in \mathbb{N}_{>1}.

Quello che cerco di dirti è che l'uguaglianza:

\sqrt[x]{a}= a^{\frac{1}{x}}

vale se x\in \mathbb{N}_{>1}
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42798

avt
Galois
Amministratore
ok perfetto! Grazie emt
Ringraziano: Omega
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Os