Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato!

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Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42727

avt
Galois
Amministratore
Salve ragazzi.
Con grande emozione posto la mia domanda su YouMath emt

Certo, per un laureando in matematica fare una domanda su un'equazione esponenziale è un po' un colmo (emt ), ma da ieri pomeriggio mi assilla un dubbio che devo togliermi.

Stavo facendo ripetizioni ad un ragazzo di scuola superiore e ci siamo imbattuti in questa equazione esponenziale:

[x]√(81)-[x]√(9) = 3^((x+2)/(x))-4

Dopo aver posto

x ≠ 0

abbiamo proceduto in questo modo:

3^(4(1)/(x))-3^(2(1)/(x))-3*3^(2(1)/(x))+4 = 0

quindi abbiamo posto

3^((2)/(x)) = t

e sostituendo:

t^(2)-t-3t+4 = 0

da cui

(t-2)^(2) = 0

e quindi

t = 2

Tornando alla variabile x, si ha:


3^((2)/(x)) = 2

da cui

(2)/(x) = log_(3)(2)

e quindi

x = (2)/(log_(3)2)

Portando il risultato in logaritmo naturale si ha:

x = (2)/((ln2)/(ln3)) = (2ln3)/(ln2) = (ln9)/(ln2)

pensavo stesse bene e sinceramente non avevo dubbi.

Andiamo a guardare il risultato sul libro ed ecco la sorpresa (riporto le parole del libro):

Soluzione: x = (ln9)/(ln2), NON ACCETTABILE, perché...
emt emt emt emt emt

Il motivo lo dovevamo dire noi..

Ci ho pensato e ripensato, ma non riesco a trovare il motivo per cui tale soluzione non dovrebbe essere accettabile..

Sapreste darmi qualche delucidazione in merito?

Grazie!
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42732

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Galois emt

La questione che poni è spinosa, l'unica giustificazione che mi sento di darti è che il libro intende:

[x]√(·)

come la radice x-esima che è definita per x∈ N_(> 1). Ti pare una giustificazione accettabile? emt
Ringraziano: Galois

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42740

avt
Galois
Amministratore
Avevo pensato anch'io ad una risposta del genere, però si tratta di un libro del 4° anno di un istituto tecnico industriale e non penso consideri solo radici con indici naturali e maggiori di 1, anche perché andando a guardare, a tale scopo, altre equazioni esponenziali simili a quella da me postata, come risultato porta risultati simili, dove di certo l'indice non era naturale e a volte addirittura negativo.

Quindi non saprei proprio.. a questo punto mi viene da pensare ad un errore del libro emt

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42744

avt
Omega
Amministratore
Ciao ragazzi emt

Condivido la vostra opinione, probabilmente il libro vuole solo risultati interi...anche perché le condizioni di esistenza richiedono di imporre solamente x ≠ 0.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42745

avt
Ifrit
Amministratore
Scusami, mi sono espresso male.

La questione è questa. La funzione esponenziale:

f(x) = a^((1)/(x)) è l'estensione ai reali della funzione:

f(n) = [n]√(a) = a^((1)/(n))

Quest'ultima è definita per ∀ n∈N, n > 1. Quando il libro scrive [x]√(·) lascia intendere che x∈ N_(> 1).

Quello che cerco di dirti è che l'uguaglianza:

[x]√(a) = a^((1)/(x))

vale se x∈ N_(> 1)
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Re: Equazione esponenziale risolubile coi logaritmi. Non mi torna il risultato! #42798

avt
Galois
Amministratore
ok perfetto! Grazie emt
Ringraziano: Omega
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Os