Calcolo di radice quadrata con esponenziale

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Calcolo di radice quadrata con esponenziale #41055

avt
Aldoman
Cerchio
Ciao, devo calcolare questa radice quadrata,con esponenziali:

\sqrt{2e^{2t}+4e^{4t}}

a me esce:

(e^t*\sqrt 2)*(1+\sqrt2*e^t)

E' giusto? Sto impazzendo perché sul libro dice che deve risultare:

(e^t*\sqrt2)*(\sqrt{1+(\sqrt2*e^t)^2}

una volta ottenuto il risultato dovrei integrarlo, sicuramente per sostituzione, quale è la quantità da sostituire?

Potete gentilmente aiutarmi? Grazie!
 
 

Calcolo di radice quadrata con esponenziale #41057

avt
kameor
Sfera
ciao emt,

c'è qualcosa che non mi torna nel tuo risultato...

allora per prima immagino tu abbia raccolto così:

{tex}\sqrt{2e^{2t}(1 + 2e^{2t})} = \sqrt{2 e^{2t}}
\sqrt{1 + 2e^{2t}}{/tex}

poi pero non puoi passare la seconda radice alla somma dentro le parentesi, al massimo puoi semplificare la prima.

\sqrt{1 + 2e^{2t}} \neq 1 + \sqrt{2e^{2t}}

se questa è una funzione da integrare prova con la sostituzione

x = \sqrt{2}e^{t}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Aldoman, CarFaby

Calcolo di radice quadrata con esponenziale #41068

avt
Aldoman
Cerchio
emt
Ciao! scusami!
visto che la seconda radice,non può essere spezzata,come faccio a vedere che x = \sqrt{2}e^{t} ?
E quale è l'argomento che devo rivedermi,per questo tipo di radice?
Grazie!

Calcolo di radice quadrata con esponenziale #41088

avt
kameor
Sfera
purtroppo non esiste una regola generale, ma ci vuole un po di occhio che viene con l'esperienza.

di solito quando hai il prodotto di due termini conviene chiedersi se uno dei due è la derivata di una funzione, in questo caso veniva bene perchè:

\sqrt{2}e^{t} = \frac{d}{dt}(\sqrt{2}e^{t})

e quindi conveniva cercare di mettere l'altro termine in funzione di quello scritto sopra per poter fare la sostituzione.

x = \sqrt{2}e^{t}

{tex}\int \sqrt{2}e^{t} \sqrt{1 + (\sqrt{2}e^{t})^2} dt =
\int \frac{d}{dt}(x) \sqrt{1 + x^2} dt = \int \sqrt{1+x^2} dx{/tex}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Aldoman, CarFaby
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Os