Disequazione fratta trigonometrica con seno e coseno

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Disequazione fratta trigonometrica con seno e coseno #40390

  • depe_
  • avt
  • Cerchio
Innanzitutto volevo scusarmi con i moderatori per quello che è successo sabato emt Il problema però resta comunque: non riesco a svolgere questa disequazione trigonometrica fratta.

(cos^2x-1/4)
--------------------------- >0
\sqrt[3]{2sinx-\sqrt{2}}

 
 
 

Disequazione fratta trigonometrica con seno e coseno #40398

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao Depe_,

puoi risolvere la disequazione trattandola come una normalissima disequazione fratta, studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore per poi confrontarli nel grafico relativo al segno della frazione.

Non ci sono particolare condizioni di esistenza delle soluzioni, se non quelle derivanti dal non annullarsi del denominatore.

Un ulteriore indicazione che semplifica di molto lo svolgimento consiste nel risolvere la disequazione sull'intervallo [0,2\pi] ed estendere successivamente le soluzioni per periodicità.

--- Numeratore > 0 ---

\cos^2{(x)}-\frac{1}{4}>0

risolvila come una disequazione di secondo grado pura con variabile y=\cos{(x)}. Essa equivale a

\cos{(x)}<-\frac{1}{2}\vee \cos{(x)}>\frac{1}{2}

le cui soluzioni sono

0\leq x<\frac{\pi}{3}\vee \frac{2}{3}\pi<x<\frac{4}{3}\pi\vee \frac{5}{3}\pi<x\leq 2\pi

il che vuol dire: su tali intervalli il numeratore è positivo, sul complementare di tale insieme in [0,2\pi] è negativo.

--- Denominatore > 0 ---

La radice è cubica, ed essendo l'indice dispari preserva il segno del radicando. Possiamo risolvere

2\sin{(x)}-\sqrt{2}>0

ossia

\sin{(x)}>\frac{\sqrt{2}}{2}

che ha soluzioni

\frac{\pi}{4}<x<\frac{3}{4}\pi

---

Puoi concludere l'esercizio e determinare le soluzioni della disequazione fratta disponendo le precedenti soluzioni in un grafico, su due linee orizzontali, indicando con segmenti pieni gli intervalli di positività e con segmenti tratteggiati quelli di negatività. Non dovresti avere problemi in merito.

A te interessano solamente le soluzioni che rendono la frazione positiva.

Fatto ciò, estendi le soluzioni aggiungendo i multipli del periodo: +2\pi k al variare di k\in\mathbb{Z}.

Ringraziano: Pi Greco, LittleMar

Disequazione fratta trigonometrica con seno e coseno #40401

  • depe_
  • avt
  • Cerchio
Grazie emt mi è venuta

Ringraziano: Omega
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Os