Identità tra seno, coseno e tangente in un triangolo rettangolo

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Identità tra seno, coseno e tangente in un triangolo rettangolo #40376

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, mi scuso per il disturbo, ma non riesco a dimostrare queste identità tra gli angoli di un triangolo rettangolo, con seno, coseno e tangente.

Eccole...

Dimostra che in ogni triangolo rettangolo sono valide le seguenti relazioni (\gamma è l'angolo retto):

a) \sin{\left(12\alpha  \right)}+\sin{\left(12\beta\right)}+\sin{\left(12\gamma\right)}=0

b) \cos{\left(14\alpha  \right)}+\cos{\left(14\beta\right)}+\cos{\left(14\gamma\right)}=-1

Dimostra che in ogni triangolo rettangolo non isoscele è valida la relazione:

c)
\frac{\tan^2{\left(\alpha  \right)}}{[1-\tan^2{\left(\alpha  \right)}]^2} = \frac{\tan^2{\left(\beta\right)}}{[1-\tan^2{\left(\beta\right)]^2}}


Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Identità tra seno, coseno e tangente in un triangolo rettangolo #40391

avt
Omega
Amministratore
Ciao Drago95 emt

Ti spiego come risolvere il primo, per gli altri devi procedere con ragionamenti analoghi.

Cosa ti serve:

1) sapere che in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari: \alpha=90^{o}-\beta;

2) le formule trigonometriche per gli archi associati.

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Dato che l'angolo \gamma è retto, scriviamo

12\gamma=12\cdot 90^{o}=3\cdot 360^{o}

e quindi si vede subito che \sin{(12\gamma)}=0.

Considera poi

\sin{(12\alpha)}+\sin{(12\beta)}=

essendo \alpha,\beta complementari

=\sin{(12\alpha)}+\sin{(12(90^{o}-\alpha))}=

=\sin{(12\alpha)}+\sin{(3\cdot 360^{o}-12\alpha))}=

per le formule sugli archi associati passiamo a

=\sin{(12\alpha)}+\sin{(-12\alpha))}=

e poi, ancora per le suddette formule

=\sin{(12\alpha)}-\sin{(12\alpha))}=0

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La seconda è del tutto analoga.

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Suggerimenti per la terza:

1) definizione di tangente come rapporto tra seno e coseno;

2) agli angoli acuti sono complementari in un triangolo rettangolo;

3) archi associati per angoli complementari: \beta=90^{o}-\alpha

e nota che bisogna escludere il caso di triangoli rettangoli isosceli perché se \alpha=\beta, in un triangolo rettangolo, allora \alpha=\beta=45^{o} e avremmo a che fare con denominatori nulli.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, drago95
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