Equazioni parametriche in un problema trigonometrico

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Equazioni parametriche in un problema trigonometrico #39997

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema d'esame di Trigonometria sulle equazioni parametriche...

Eccolo:

Considera il luogo piano rappresentato dal sistema di equazioni parametriche:

x=\cot{\left(\alpha  \right)}


y=2cosec(\alpha)

con \alpha \not=  k\pi

a) Verifica che è un'iperbole.

b) Calcola la tangente dell'angolo acuto beta formato dagli asintoti.

c) Esprimi \sin{\left(\beta\right)} e \cos{\left(\beta\right)} in funzione di \tan{\left(\beta/2\right)} e determinane il valore.

Io modestamente non riesco a capire come il sistema iniziale possa essere una iperbole.Mi potreste dare un aiuto?

Nell'attesa di una vostra risposta, vi ringrazio in anticipo e mi scuso per il disturbo.
 
 

Equazioni parametriche in un problema trigonometrico #40013

avt
Ifrit
Ambasciatore
Eccomi!

Per quanto riguarda il primo quesito, esprimi y in funzione di x. Vediamo come:

y= 2\mbox{cosec}(\alpha)

ma per definizione, la cosecante è:

\mbox{cosec}(x)= \frac{1}{\sin(x)}

mentre la cotangente è:

\cot(\alpha)= \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}

eleviamo al quadrato membro a membro:

\cot^2(\alpha)= \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}

Per la relazione fondamentale della goniometria:

\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)

sostituendo nella espressione della cotangente al quadrato:

\cot^2(\alpha)= \frac{1-\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}=

Spezziamo la frazione:

= \frac{1}{\sin^2(\alpha)}-1

Ora \frac{1}{\sin^2(\alpha)}= \mbox{cosec}^2(x)



Dunque:

\cot^2(\alpha)= \mbox{cosec}^2(\alpha)-1\implies

\mbox{cosec}^2(\alpha)= \cot^2(\alpha)+1

Possiamo asserire dunque che:

y^2= 4\mbox{cosec}^2(\alpha)= 4 \left( \overbrace{\cot^2(\alpha)}^{=x^2}+1\right)

e quindi:

y^2= 4(x^2+1)\iff y^2-4x^2=4

o meglio, dividendo membro a membro per -4:

x^2-\frac{y^2}{4}=-1

che è appunto l'equazione di una iperbole riferita agli assi. Per le formule dell'iperbole possiamo determinare le equazioni degli asintoti:

y=\pm \frac{b}{a}x\iff y=\pm \frac{2}{1}x\iff y=\pm2x

Siano m_1=-2 e m_2=2 i coefficienti angolari delle rette degli asintoti, allora l'angolo \beta tra le due rette si determina tramite l'equazione:

\tan(\beta)=\left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|

\tan(\beta)=\frac{4}{3}\iff \beta= \arctan\left(\frac{4}{3}\right)\sim 0.927\mbox{ rad}


A questo punto però potrai calcolare cos beta e sin beta con le formule parametriche emt

(Difficilotto questo esercizio :\)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95

Equazioni parametriche in un problema trigonometrico #40027

avt
drago95
Cerchio
Ho capito...!
Grazie 1000 Ifrit..
Si in effetti era un po' difficilotto...
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Os