Problema d'esame sulle funzioni goniometriche

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema d'esame sulle funzioni goniometriche #39980

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema d'esame sulle funzioni trigonometriche che non riesco a risolvere...

Eccolo:

Considera la funzione

f(x) = a\cos{\left(x\right)} + b\sin{\left(x\right)}


a) Determina i coefficienti a e b in modo che il grafico passi per i punti P( \pi/6 ,1) e Q(-\pi/6 ; 2)/.

b) Trasforma la funzione nella forma

f(x) = A\cos{\left(x+\alpha  \right)}


e determina i punti di minimo e di massimo.

c) Trova l'espressione analitica della funzione g(x) = f(-x) e disegna i grafici delle due funzioni nel medesimo riferimento.

d) Verifica che g(x) si può ottenere da f(x) mediante una traslazione.

Allora, per quanto riguarda il primo punto sono andato a sostituire i due punti... Ed ho ottenuto:

1 = \sqrt{3}/2 a + 1/2 b


e

2 = \sqrt{3}/2 a -1/2 b.


Ho applicato il metodo di riduzione... ed ho ottenuto:

b=-1
e
a= \sqrt{3}.


Che vado a sostituire nella funzione iniziale:

{tex}f(x)= \sqrt{3}\cos{\left(x\right)}-\sin{\left(x\right)}
{/tex}


dopodiché dobbiamo trasformarla in una funzione f(x)=Acos(x+alpha) però non posso applicare il metodo dell'angolo aggiunto...

Mi potreste aiutare a finire l'esercizio?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente...
 
 

Problema d'esame sulle funzioni goniometriche #39992

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Drago95 emt Il metodo dell'angolo aggiunto lo puoi applicare tranquillamente emt

Vediamo come:

Hai determinato le costanti a e b c così da ottenere:

f(x)=-\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)

L'angolo aggiunto \alpha è dato dalla soluzione del sistema:

\begin{cases}\cos(\alpha)=-\frac{1}{2}\\ \sin(\alpha)= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

Da ciò segue che l'angolo ausiliario è:

\alpha= \frac{2}{3}\pi

Di conseguenza:

f(x)= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\iff

f(x)= 2\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)

A questo punto ricordando le formule per gli angoli associati

\sin(x+\pi/2)= \cos(x)

Possiamo ricondurci al coseno in questo modo. Da

f(x)= 2\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)

Sommiamo e sottraiamo \frac{\pi}{2} nell'argomento del seno:

f(x)= 2\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)

f(x)= 2\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)

Sottrai 2/3 Pi con Pi/2

f(x)= 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)

Utilizziamo la relazione scritta in precedenza:

f(x)= 2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)

Adesso credo tu possa concludere l'esercizio emt
Ringraziano: Omega, drago95
  • Pagina:
  • 1
Os