Relazione trigonometrica tra le tangenti in un triangolo

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Relazione trigonometrica tra le tangenti in un triangolo #39947

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un esercizio di Trigonometria che non riesco a risolvere, devo verificare un'uguaglianza tra le tangenti degli angoli di un triangolo...

Eccolo:

Se α, β, γ sono le misure degli angoli di un triangolo, dimostrare che

tan((α)+tan(β)+tan(γ)) = tan((α)×tan(β)×tan(γ))


Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente...
 
 

Relazione trigonometrica tra le tangenti in un triangolo #39959

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao drago95 emt

Io utilizzerò le formule di addizione della tangente. Per prima cosa osserviamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è π ~ 180^o (la tilde sta per equivelente).

α+β+γ = π ⇒ γ = π-α-β

Grazie agli archi associati possiamo asserire che

tan(γ) = tan(π-α-β) = -tan(α+β)

Per la formula d'addizione della tangente:

tan(α+β) = (tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)tan(β))

otteniamo quindi che:

tan(γ) = -tan(α+β) = (tan(α)+tan(β))/(tan(α)tan(β)-1)


Di conseguenza:

tan(α)+tan(β)+tan(γ) =

tan(α)+tan(β)+(tan(α)+tan(β))/(tan(α)tan(β)-1) =

Mettiamo in evidenza tan(α)+tan(β)


(tan(α)+tan(β))(1+(1)/(tan(α)tan(β)-1)) =

Minimo comune multiplo:

(tan(α)+tan(β))((tan(α)tan(β)-1+1)/(tan(α)tan(β)-1)) =


(tan(α)+tan(β))((tan(α)tan(β))/(tan(α)tan(β)-1)) =


tan(α)tan(β)((tan(α)+tan(β))/(tan(α)tan(β)-1)) (tan(γ)) =

= tan(α)tan(β)tan(γ)

Abbiamo dimostrato che:

tan(α)+tan(β)+tan(γ) = tan(α)tan(β)tan(γ)

dove α, β, γ sono gli angoli interni di un triangolo.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os