Relazione trigonometrica tra le tangenti in un triangolo

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Relazione trigonometrica tra le tangenti in un triangolo #39947

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un esercizio di Trigonometria che non riesco a risolvere, devo verificare un'uguaglianza tra le tangenti degli angoli di un triangolo...

Eccolo:

Se \alpha, \beta, \gamma sono le misure degli angoli di un triangolo, dimostrare che

\tan{\left(\alpha  \right)+\tan{\left(\beta \right)+\tan{\left(\gamma\right)}}} = \tan{\left(\alpha  \right)\times  \tan{\left(\beta\right)\times \tan{\left(\gamma\right)} }}


Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente...
 
 

Relazione trigonometrica tra le tangenti in un triangolo #39959

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao drago95 emt

Io utilizzerò le formule di addizione della tangente. Per prima cosa osserviamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è \pi\sim 180^o (la tilde sta per equivelente).

\alpha+\beta+\gamma= \pi\implies \gamma= \pi-\alpha-\beta

Grazie agli archi associati possiamo asserire che

\tan(\gamma)= \tan(\pi-\alpha-\beta)=-\tan(\alpha+\beta)

Per la formula d'addizione della tangente:

\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}

otteniamo quindi che:

\tan(\gamma)=-\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{\tan(\alpha)\tan(\beta)-1}


Di conseguenza:

\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=

\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{\tan(\alpha)\tan(\beta)-1}=

Mettiamo in evidenza \tan(\alpha)+\tan(\beta)


(\tan(\alpha)+\tan(\beta))\left(1+\frac{1}{\tan(\alpha)\tan(\beta)-1}\right)=

Minimo comune multiplo:

(\tan(\alpha)+\tan(\beta))\left(\frac{\tan(\alpha)\tan(\beta)-1+1}{\tan(\alpha)\tan(\beta)-1}\right)=


(\tan(\alpha)+\tan(\beta))\left(\frac{\tan(\alpha)\tan(\beta)}{\tan(\alpha)\tan(\beta)-1}\right)=


\tan(\alpha)\tan(\beta)\overbrace{\left(\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{\tan(\alpha)\tan(\beta)-1}\right)}^{\tan(\gamma)}=

=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)

Abbiamo dimostrato che:

\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)= \tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)

dove \alpha, \beta, \gamma sono gli angoli interni di un triangolo.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os